{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Input" 2 19 "" 0 1 255 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 277 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 278 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 279 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 280 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 281 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 282 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 285 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 286 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 287 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 288 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 289 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 290 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 291 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 292 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 293 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 294 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 295 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 296 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 297 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 298 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 299 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 300 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 301 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 302 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 303 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 304 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 305 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 306 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 307 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 308 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 309 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 310 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 311 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 312 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 313 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 314 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 1 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 2 6 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 20 "Ideal Gas Simulation" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1164 "In thi s worksheet a simple 2-dimensional ideal gas simulation is performed. \+ Particles are moving in a 2D container and collide with the walls. Sin ce we are simulating a dilute, ideal gas, we can ignore the collisions between the gas molecules. This is also called a collisionless plasma . The effect of collisions with the walls is to couple the x and y mot ions, and to define the pressure of the gas in the container. The temp erature of the gas is related to the total kinetic energy. Our gas is \+ simplified in one important aspect: the molecules are treated as point particles, and thus are able to store kinetic energy only through the ir translational motion. In reality, diatomic (or polytaomic) molecule s can convert heat into electronic excitations (eV energy scale), vibr ations (0.1 eV scale), and rotations (0.01 eV scale). There are quantu m manifestations of these phenomena, i.e., abrupt changes in the speci fic heat as a function of temperature when a storage mechanism becomes unavailable as the temperature T is lowered. It is useful to know the energy associated with temperature, i.e., kT , which at room temperat ure corresponds to 1/40 eV (0.025 eV)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 34 "The Maxwell-Boltzmann distri bution" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 963 "We begin with the Boltzmann di stribution and learn how to generate a random sample with a non-unifor m distribution. Our simulation cannot be completely free of assumption s, since it does not describe the relaxation process that takes place \+ over a long time scale: much longer than the time it takes for a parti cle to traverse the box, i.e., the time scale of our simulation. The r elaxation to a steady state from any intial state takes place as a res ult of collisions between the molecules. The result is the Maxwell-Bol tzmann distribution which describes how the particles of the ensemble \+ are distributed over kinetic energy (magnitude of velocity) for given \+ temperature. First-year physics texts provide the main principle behin d a derivation. Collisions between the gas molecules imply that the in dividual molecules can have any amount of kinetic energy, since they e xchange it all the time amongst each other. The likelihood to observe \+ a given kinetic energy " }{XPPEDIT 18 0 "mv^2/2" "6#*&%#mvG\"\"#F%!\" \"" }{TEXT -1 239 " depends on the number of possibilities to reach th at state. To observe a very high, or a very low kinetic energy at give n temperature is less likely than some value in between. The average k inetic energy is given by the following relation" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "avg:=m/2*u^2=d/2*k*T;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$avgG/,$*&%\"mG\"\"\")%\"uG\"\"#F)#F)F,,$*(%\"dGF)%\" kGF)%\"TGF)F-" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 136 "Here d is the n umber of dimensions (d=3 in nature, d=2 for our simulation), k is Bolt zmann's constant, T is the temperature of the gas, " }{TEXT 257 1 "m" }{TEXT -1 44 " the mass of the particles (molecules), and " }{TEXT 258 2 "u " }{TEXT -1 57 "is the average(!) velocity. The distribution \+ has to have " }{TEXT 259 1 "u" }{TEXT -1 124 " for its average speed, \+ but note that the average velocity itself (as a vector) vanishes. For \+ d=3 the distribution reads as:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "fB:=(vx,vy,vz,T)->(m/(2*Pi*k*T))^(3/2)*exp(-m*(vx^2+vy^2+vz^2) /(2*k*T));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#fBGR6&%#vxG%#vyG%#vzG %\"TG6\"6$%)operatorG%&arrowGF+,$*(-%%sqrtG6#\"\"#\"\"\")*&%\"mGF5*(%# PiGF5%\"kGF59'F5!\"\"#\"\"$F4F5-%$expG6#,$*&*&F8F5,(*$)9$F4F5F5*$)9%F4 F5F5*$)9&F4F5F5F5F5*&F;F5F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "fB:=(v,T)->(m/(2*Pi*k*T))^(3/2)*exp (-m*v^2/(2*k*T));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#fBGR6$%\"vG%\" TG6\"6$%)operatorG%&arrowGF),$*(-%%sqrtG6#\"\"#\"\"\")*&%\"mGF3*(%#PiG F3%\"kGF39%F3!\"\"#\"\"$F2F3-%$expG6#,$*&*&F6F3)9$F2F3F3*&F9F3F:F3F;#F ;F2F3#F3\"\"%F)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "int( fB(v,T)*v^2,v=0..infinity);" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 68 "Definite i ntegration: Can't determine if the integral is convergent." }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 38 "Need to know the sign of --> 1/2*m/k/T" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 57 "Will now try indefinite integration and then ta ke limits." }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&limitG6$,$*&*,-%%sqrt G6#\"\"#\"\"\")*&%\"mGF-*(%#PiGF-%\"kGF-%\"TGF-!\"\"#\"\"$F,F-F3F-F4F- ,&*(-%$expG6#,$*&*&F0F-)%\"vGF,F-F-*&F3F-F4F-F5#F5F,F-FAF--F*6#*&F0F-* &F3F-F4F-F5F-F,*(-F*6#F2F-F)F--%$erfG6#,$*(F)F-FDF-FAF-#F-F,F-F5F-F-*& F0F--F*6#FFF-F5#F5\"\")/FA%)infinityG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "assume(m>0): assume(k>0): assume(T>0): interface(show assumed=0):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "We perform now th e calculation of the average in 1D, 2D, 3D: the volume integration in \+ velocity space contributes a factor 1, " }{XPPEDIT 18 0 "v" "6#%\"vG" }{TEXT -1 6 ", and " }{XPPEDIT 18 0 "v^2" "6#*$%\"vG\"\"#" }{TEXT -1 14 " respectively." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "int(f B(v,T)*v^2,v=0..infinity)/int(fB(v,T),v=0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#*&*&%#k|irG\"\"\"%#T|irGF&F&%#m|irG!\"\"" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "int(fB(v,T)*v^3,v=0..infinit y)/int(fB(v,T)*v,v=0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$ *&*&%#k|irG\"\"\"%#T|irGF'F'%#m|irG!\"\"\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "int(fB(v,T)*v^4,v=0..infinity)/int(fB(v,T)*v^2,v =0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*&*&%#k|irG\"\"\"% #T|irGF'F'%#m|irG!\"\"\"\"$" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 768 "N ow we need to make a choice of units. It is possible (albeit cumbersom e) to always carry the units in Maple (multiplied onto the numerical v alues for the constants). One can define a natural system of units tha t renders the equations dimensionless. Alternatively one can fix a pop ular system of units (cgs or MKSA=SI), ignore the units and supply the m at the end of the calculation. This is less safe than either of the \+ previous methods, and requires the diligence to supply all variables a nd constants in the same unit system. We choose the MKSA system of uni ts, for k we omit the J/K (J = Nm = Ws). The Boltzmann constant can be determined from the observation of Brownian motion (Millikan experime nt to determine the unit of charge), and is given approximately as:" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "k:=1.38*10^(-23);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"kG$\"++++!Q\"!#K" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "The mass of the gas particles in kg is assumed \+ as a multiple of the proton mass:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "m:=2*1.67*10^(-27);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#>%\"mG$\"++++SL!#O" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 118 "We are r eady to graph M-B distributions for a few temperatures. We include the volume element for a 2D gas (factor of " }{TEXT 260 1 "v" }{TEXT -1 61 ") to observe the probability to find particles in the range [" } {TEXT 265 1 "v" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 264 1 "v" }{TEXT -1 2 "+d" } {TEXT 263 1 "v" }{TEXT -1 52 "]. Before we graph we need to figure out ranges for " }{TEXT 262 1 "x" }{TEXT -1 5 " and " }{TEXT 261 1 "y" } {TEXT -1 1 ":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "evalf(fB(v ,100));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$-%$expG6#,$*$)%\"vG\"\"# \"\"\"$!+G\\957!#:$\"+cSt!R#!#>" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "plot([10^8*v*fB(v,100),10^8*v*fB(v,300),10^8*v*fB(v,1000)],v=0 ..0.5*10^4,color=[red,blue,green]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 526 190 190 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6$7go7$\"\"!F(7$$\"1LL$3FWYs#!#9$\"1I A1j003l!#;7$$\"1nmmT&)G\\aF,$\"1/N%*Qo5)H\"!#:7$$\"1++]7G$R<)F,$\"1wVb &[L%Q>F57$$\"1LLL3x&)*3\"!#8$\"1B2MibPoDF57$$\"1n\"z%\\v#pK\"F>$\"1:z3 &f^a5$F57$$\"1+]i!R(*Rc\"F>$\"1T'31,U+j$F57$$\"1L3xJs1,=F>$\"1RdU\"[>, 9%F57$$\"1nm\"H2P\"Q?F>$\"1-\"*HELvLYF57$$\"1Mek.pu/BF>$\"1V2l'4*)p;&F 57$$\"1+]PMnNrDF>$\"1:Y\\%*yrucF57$$\"1nT5ll'z$GF>$\"1M\\^Z+uahF57$$\" 1LL$eRwX5$F>$\"1,!3r$430mF57$$\"1LLL$eI8k$F>$\"1+(*Ro7\"\\T(F57$$\"1ML 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$$\"1+++9>T]\")F7$\"1+++ISS\"e'F*7$$\"1+++URM1tF*$\"1+++-mr=KF*7$$\"1+ ++my>\"Q)F*$\"1+++L*=!*p\"F77$$\"1+++1Xf(\\)F*$\"1+++bxP:kF*7$$\"1+++F 8'>&>F*$\"1*****Rqq*orF*7$$\"1+++A3*\\?)F*$\"1+++lkcEkF*7$$\"1+++A'GYu %F*$\"1+++%4,*\\\\F*7$$\"1+++fv'p***F*$\"1+++(Rb**\\\"F*7$$\"1+++55rcu F7$\"1+++Hwy!>'F*7$$\"1+++wG1[hF*$\"1+++t,uukF*7$$\"1+++5(HIE&F7$\"1** ***>Q/UY'F*7$$\"1+++*fUIO*F*$\"1+++#=_9*GF*7$$\"1+++rlt#=*F*$\"1+++yDu 4zF*7$$\"1+++q'\\d]%F*$\"1+++o+![M\"F*7$$\"1+++#4M*)[)F*$\"1+++*[R&*G# F77$$\"1+++QTlJLF*$\"1+++8WLOHF*7$$\"1+++Rglc#*F*$\"1+++Q(pdJ'F*7$$\"1 +++k*H5u'F7$\"1+++.Y^>CF*7$$\"1+++[)yrM&F*$\"1,++[\"\\^'pF*7$$\"1+++Pm @%e*F7$\"1+++4'4,*RF77$$\"1+++%REeW*F*$\"1+++#pcsL)F*7$$\"1+++SCtoVF*$ \"1+++#3ZD)yF*7$$\"1+++*omz/%F*$\"1+++ilt+?F*7$$\"1+++NkxlGF*$\"1+++hu ]ccF*7$$\"1+++&*)o*\\`F7$\"1*****p)pZ&p(F*7$$\"1+++v@?npF*$\"1+++nuE,eF*7$$\" 1+++)Qx\"**=F*$\"1+++_/;OEF*7$$\"1+++T>bSSF*$\"1+++[:8xUF*7$$\"1+++\\# 3i7\"F*$\"1+++AE^4WF*7$$\"1++++6=;%)F*$\"1+++&>8H$>F*7$$\"1+++TI4**)*F 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$\"1+++zM**4bF*$\"1+++$H7lm\"F77$$\"1+++#\\rR&HF*$\"1******=gqU]F*7$$ \"1+++*[NZ\"oF7$\"1+++m`I[HF*7$$\"1+++>\\9J%)F*$\"1+++ir68uF*7$$\"1+++ \\5]vbF*$\"1+++VGkRxF*7$$\"1+++6D!G1#F*$\"1+++M\"3S[*F*7$$\"1+++l^yf]F *$\"1+++jJ+\"Q\"F*7$$\"1+++nQT$y#F*$\"1+++%)H*H>*F*7$$\"1*****pp$))))* *F*$\"1+++Rrqd?F*7$$\"1+++l+Y\")pF7$\"1+++wk(3$))F*7$$\"1+++;wN2iF*$\" 1+++=1.l#*F*7$$\"1+++isZ6#*F*$\"1+++s5EF[F*7$$\"1+++q\\P(G%F*$\"1+++rw c(o*F*7$$\"1+++=3/X'*F*$\"1+++0,,!H$F*7$$\"1+++P'>Hw)F*$\"1+++8Q0V%*F* 7$$\"1+++S;uu6F*$\"1+++WShoUF*7$$\"1+++&fGJ(*)F7$\"1,++Jqa9$*F77$$\"1+ ++VfP]9F7$\"1+++b'Rk'\\F*7$$\"1+++T;T4'*F*$\"1+++AZ07\\F*7$$\"1+++)fY@ ()*F*$\"1+++F#fVh#F*7$$\"1+++4UJ+UF*$\"1+++R[]#\\*F*7$$\"1,++7km\"p(F7 $\"1+++ZPg$4#F*7$$\"1+++GSn]DF*$\"1+++**[KzkF*7$$\"1+++sa]*F*7$$\"1+++**Gi!y%F*$\"1+++h.=0@)))F*7$$\"1+++&z!=:\"*F*$\"1+++\"y&zX\")F*7$$\"1+ ++(=C@>$F*$\"1+++,qzPUF77$$\"1+++_AY-[F*$\"1+++^7*Q*RF*7$$\"1+++6CsmwF *$\"1+++_6:\\hF*7$$\"1+++?)=lB&F*$\"1+++Go_.)*F*7$$\"1+++&yQAK)F7$\"1+ ++_ZMjzF*7$$\"1+++![]R8(F*$\"1+++&p!yv&*F*7$$\"1+++!p!zOvF*$\"1+++)4X_ /*F*7$$\"1,++***p(p$*F*$\"1+++38>@vF*7$$\"1+++5!=Wu'F*$\"1+++=>OL#)F*7 $$\"1+++'zbU(*)F*$\"1+++k2.zTF*7$$\"1+++t.^\"3&F7$\"1+++hA#y/%F*7$$\"1 +++*3Ak&=F*$\"1+++#pdB?)F*7$$\"1*****zsPXM&F*$\"1+++mf&F*$\"1+++B,>LoF*7$$\"1+++sA5kAF*$\"1+++L`jg)) F*7$$\"1+++n7-bBF*$\"1+++bY12cF*7$$\"1+++1]e/6F*$\"1+++.U'*zIF*7$$\"1+ ++`=y3tF*$\"1+++(*=]ZYF*7$$\"1+++M>e_hF*$\"1+++]b]\"Q(F*7$$\"1+++2CD0s F*$\"1+++qu-P;F*7$$\"1+++p(*ynYF*$\"1+++&RRlr\"F*7$$\"1+++=zSdoF*$\"1+ ++^Mko?F*7$$\"1+++0i.cUF*$\"1+++N7@iuF*7$$\"1+++'4H=>(F*$\"1+++7&QWA'F *7$$\"1+++cJJ)*fF*$\"1+++@N5#Q\"F*7$$\"1+++5Pz'[)F*$\"1*****H\"HSL#*F* 7$$\"1+++vufu&*F*$\"1+++ppQEBF*7$$\"1+++/zx;QF*$\"1+++_v^BXF*7$$\"1+++ ?Wx$y\"F*$\"1+++a)*)yx%F*7$$\"1+++w+qfcF*$\"1,++=\"e@[)F*7$$\"1+++*HN( *=(F*$\"1+++hp,b#)F*7$$\"1+++)[V)4pF*$\"1+++(e38#))F*7$$\"1++++j%=)))F *$\"1+++\"***RmkF*7$$\"1+++2CFo&*F*$\"1+++\"*GDGmF*7$$\"1*****\\c)oXwF *$\"1+++KnUE))F*7$$\"1*****R#*[lN'F*$\"1+++&yYiM(F*7$$\"1+++#46TX)F*$ \"1+++y\"GA'**F77$$\"1+++nQiyoF*$\"1+++/7XO!*F*7$$\"1+++%R(4d6F*$\"1++ +JA?EEF77$$\"1+++3:8:EF*$\"1+++=.q!H(F*7$$\"1+++SndP)*F*$\"1+++=qI2VF7 7$$\"1+++L;hI7F*$\"1+++hARE))F*7$$\"1*****4Bpq8(F*$\"1+++<.FFjF*7$$\"1 +++=S<7EF7$\"1+++,Vx6aF*7$$\"1+++LzG`5F*$\"1+++&4**R[(F*7$$\"1+++p4dko F*$\"1+++*46)[rF*7$$\"1+++!p!)=9#F*$\"1+++i\\HnuF*7$$\"1+++KRY-GF*$\"1 +++Fjl=JF*7$$\"1+++wMD\"*yF7$\"1+++#eb'zoF*7$$\"1+++zpIvRF*$\"1,++2)oq &yF*7$$\"1+++cLs*=%F*$\"1+++vO_.#)F*7$$\"1+++dx#zM'F*$\"1+++@%yNd)F*7$ $\"1+++\\#)*Gr'F*$\"1+++syBs$*F*7$$\"1+++&GY;Q&F*$\"1+++.J7jpF*7$$\"1+ ++&H&zM')F*$\"1+++IwTM$*F*7$$\"1+++:)GV)zF*$\"1+++yh=[KF*7$$\"1+++nL#y E%F*$\"1+++)GQ&HuF*7$$\"1+++_gARwF*$\"1+++0\"[/U&F*7$$\"1+++dd>:CF*$\" 1+++=MQ)f#F*7$$\"1+++y![Tj%F7$\"1+++>G.>zF*7$$\"1+++%z]J#)*F*$\"1+++az _)e&F*7$$\"1+++Hbf@fF*$\"1+++.`4@MF*7$$\"1+++!ot*\\\"*F*$\"1+++_$=:s$F *7$$\"1+++_h@G5F*$\"1+++nbCk_F77$$\"1+++YU=I>F*$\"1+++V[L$4#F*7$$\"1++ +3s')4KF*$\"1+++DsGPkF*7$$\"1+++4Af,vF*$\"1+++ug3!)>F*7$$\"1+++n`i&\\' F*$\"1+++/)=!H`F*7$$\"1+++)eFy'HF*$\"1+++nxkSWF*7$$\"1+++wr]OGF7$\"1** ***H9'e5'*F*7$$\"1+++ZVL:*)F*$\"1+++kitClF[q7$$\"1+++,1d.$)F*$\"1+++<` '**f\"F*7$$\"1+++]rj_[F*$\"1+++viMVOF*7$$\"1*****4+Rx*oF*$\"1+++)>`zX% F*7$$\"1+++MOAZ9F*$\"1+++\\w5^GF*7$$\"1+++M@/DtF*$\"1+++Uu!\\])F*7$$\" 1+++,$oPF$F*$\"1+++wMZ@pF*7$$\"1+++z2X!f$F*$\"1+++A!fsk%F*7$$\"1+++P$e %R&)F*$\"1+++exbINF*7$$\"1+++L2c.dF*$\"1+++(4om\"fF*7$$\"1+++!)zD.;F*$ \"1+++*[h=x&F*7$$\"1+++nM)fD)F*$\"1+++!e%[ZwF*7$$\"1+++ngB7uF*$\"1**** *f'4]enF*7$$\"1,++>8mFsF*$\"1+++&[!*zj#F77$$\"1+++B9a:yF*$\"1+++U+Zm$) F*7$$\"1+++s.70dF*$\"1+++Ecn-GF*7$$\"1+++6d&)>xF7$\"1+++f/=CUF*-%'COLO URG6&%$RGBG$\"#5!\"\"\"\"!F_ht-%&STYLEG6#%&POINTG-%+AXESLABELSG6$%!GFg ht-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG-%%VIEWG6$;F_ht$\"\"\"F_htF_it" 1 5 0 1 10 0 2 9 1 2 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 631 "Ideally we should find a uniformly covered squar e. To assess the quality of the generator one has to observe how the s quare is covered as the number of randoms is increased. The developmen t and testing of pseudorandom number generators is a science (or an ar t) in its own right. Note that we are using seeded reproducible (deter ministic) sequences (thus, pseudorandom numbers) with certain statisti cal properties. More quantitative ways to test these generators involv e the observation of the mean (does it approach 0.5 with a 1/sqrt(N) d eviation behaviour), and more generally the quality of the histogram o ver the unity interval." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "histo:=proc(xv,N,xi,xf,dx) local bi n,n,i; global nm;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "nm:=trunc((xf- xi)/dx); for n from 1 to nm do: bin[n]:=0; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 1 to N do:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "n:=trunc((xv[i]-xi)/dx)+1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "bin[n]:=bin[n]+1; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "bin;" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "res:=histo(xv,500,0,1,0.1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$resG%$binG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "seq(res[i],i=1..nm);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6,\"#_\"#T \"#R\"#Z\"#b\"#[\"#m\"#]F*F#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "I t is not appropriate to graph these numbers directly. A bar graph is c arried below. The " }{TEXT 19 7 "op([,])" }{TEXT -1 142 " construct is used to place two neighboring points beside each other in the sequenc e construct, which is then turned into a list for graphing." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "i:='i': plot([seq(op([[i-1,r es[i]],[i,res[i]]]),i=1..nm)]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 398 180 180 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$767$\"\"!$\"#_F(7$$\"\"\"F(F)7$F,$\"#TF (7$$\"\"#F(F/7$F2$\"#RF(7$$\"\"$F(F57$F8$\"#ZF(7$$\"\"%F(F;7$F>$\"#bF( 7$$\"\"&F(FA7$FD$\"#[F(7$$\"\"'F(FG7$FJ$\"#mF(7$$\"\"(F(FM7$FP$\"#]F(7 $$\"\")F(FSFU7$$\"\"*F(FS7$FYF)7$$\"#5F(F)-%'COLOURG6&%$RGBG$Fhn!\"\"F (F(-%+AXESLABELSG6$%!GFbo-%%VIEWG6$%(DEFAULTGFfo" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 268 11 "Exercise 1:" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Observe the deviations from the expected average value ( 50 for a sample of 500) for each bin as a function of " }{TEXT 275 1 " N" }{TEXT -1 28 ". How does it decrease with " }{TEXT 274 1 "N" } {TEXT -1 1 "?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "We can turn the histogram generation into a single pr ocedure (to which we supply the maximum count value as well), and try \+ it out on the other chosen sample of random numbers:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "histo:=proc(xv,N,xi,xf,dx,ymax) local bin ,n,i,nm;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "nm:=trunc((xf-xi)/dx); \+ for n from 1 to nm do: bin[n]:=0; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 1 to N do:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "n:=t runc((xv[i]-xi)/dx)+1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "bin[n]:=b in[n]+1; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "i:='i': plot([seq(o p([[i-1,bin[i]],[i,bin[i]]]),i=1..nm)],0..nm,0..ymax);" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "histo(yv,500,0.,1.,0.1,80);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 302 175 175 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$767$\"\"!$\"#^F(7$$\"\"\"F(F)7$F,$\"#ZF (7$$\"\"#F(F/7$F2$\"#`F(7$$\"\"$F(F57$F8F/7$$\"\"%F(F/7$F<$\"#_F(7$$\" \"&F(F?7$FB$\"#WF(7$$\"\"'F(FE7$FH$\"#hF(7$$\"\"(F(FK7$FNF57$$\"\")F(F 57$FR$\"#\\F(7$$\"\"*F(FU7$FX$\"#VF(7$$\"#5F(Fen-%'COLOURG6&%$RGBG$Fin !\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$%!GFco-%%VIEWG6$;F(Fhn;F($\"#!)F(" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 465 "To dial up an ensemble that is not equid istributed but follows a given distribution we use a rejection method. First we truncate the infinite range of velocities to a finite one wi th a cut-off appropriate for the given temperature (see the graph). Fo r finite ensembles this constitutes a small error. Alternatively we co uld remap the independent variable v , using e.g. the tangent function , such that the infinite range would be mapped to a finite range (0..p i/2)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 155 "For T<1000 K we should be able to truncate the velocities at 10,000 m /s. We dial up a velocity in this range and call it v_i. Next we dial \+ a random number " }{XPPEDIT 18 0 "xi " "6#%#xiG" }{TEXT -1 60 " in the range 0..1, and calculate the distribution function " }{XPPEDIT 18 0 "fB(v[i])" "6#-%#fBG6#&%\"vG6#%\"iG" }{TEXT -1 84 " normalized such th at at the maximum of fB a value of 1 is obtained. Now we compare " } {XPPEDIT 18 0 "xi " "6#%#xiG" }{TEXT -1 5 " and " }{XPPEDIT 18 0 "fB(v [i])" "6#-%#fBG6#&%\"vG6#%\"iG" }{TEXT -1 54 " : we accept v_i as a me mber of the ensemble only if " }{XPPEDIT 18 0 "fB(v[i]) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "T0:=1000;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#T0G\"%+5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "f0:=evalf(v*fB(v,T0));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#f0G,$*&%\"vG\"\"\"-%$expG6#,$*$)F'\"\"#F($!+G\\957!#;F($\"+(* [;gv!#@" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "v0:=solve(diff(f 0,v)=0,v);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#v0G6$$!+VtmK?!\"'$\"+ VtmK?F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "f0max:=evalf(sub s(v=abs(v0[1]),f0));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&f0maxG$\"+ \"yQ2K*!#=" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "f0n:=f0/f0max ;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$f0nG,$*&%\"vG\"\"\"-%$expG6#,$ *$)F'\"\"#F($!+G\\957!#;F($\"+c>76\")!#8" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "vmax:=10000;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%vm axG\"&++\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Np:=100;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#NpG\"$+\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 109 "The rejection method requires an infinite loop. For pr actical reasons we truncate that loop at 1000 attempts." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "#begin loop:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 1 to Np do:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "vi:=vmax*randx();" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f0i:=s ubs(v=vi,f0n);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "xi:=randx();" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "for j from 1 to 1000 while xi>f0i d o: #1000 attempts" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "vi:=vmax*randx ();" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f0i:=subs(v=vi,f0n);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "xi:=randx(); od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "vB[i]:=vi;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "histo(vB,Np,0,vmax,vma x/20,Np/4);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 397 183 183 {PLOTDATA 2 "6%- %'CURVESG6$7J7$\"\"!$\"\"#F(7$$\"\"\"F(F)7$F,$\"\"*F(7$F)F/7$F)$\"#F(F(Fgo7$$\"#?F (F(-%'COLOURG6&%$RGBG$F:!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$%!GFfp-%%VIEWG6$;F(F[ p;F($\"#DF(" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 " Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 276 12 "Exercise 2: " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Modify the procedure histo to display the velocity instead of bin number on the " }{TEXT 277 1 "x" }{TEXT -1 151 " axis, and compare the graph with the distribution. The maximum i n the fourth bin appears to be in the correct place, i.e., near 2000 m /s for T=1000 K." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 90 "In our next step we should dial up velocity vector s. A randomly dialed polar angle in the " }{TEXT 272 1 "x" }{TEXT -1 1 "-" }{TEXT 271 1 "y" }{TEXT -1 33 " plane should allow us to define \+ " }{TEXT 270 1 "x" }{TEXT -1 5 " and " }{TEXT 269 1 "y" }{TEXT -1 174 " components of the initial velocities. Theta varies between -pi and p i, and the uniform distribution is obtained by stretching the random n umbers obtained on a unit interval." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 1 to Np do:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "theta:=evalf((randx()-0.5)*2*Pi);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "vx[i]:=vB[i]*cos(theta); vy[i]:=vB[i]*sin(theta); od: " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "We determine some averages fo r our discrete ensemble." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "vxavg:=0: vyavg:=0: vavg:=0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "fo r i from 1 to Np do:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "vxavg:=vxav g+vx[i]: vyavg:=vyavg+vy[i]: vavg:=vavg+sqrt(vx[i]^2+vy[i]^2): od:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "vxavg:=vxavg/Np: vyavg:=vyavg/Np: v avg:=vavg/Np:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "print(`vx, vy,v: `,vxavg,vyavg,vavg);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6&%*vx,vy, v:~G$\"+%F&$\"+mjiYD!\"'" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 216 "Note that the components of the average velocity vect or should go to zero as the number of test particles is increased, but that the magnitude of the average velocity vector should be given by \+ the ideal gas estimate:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " evalf(sqrt(vxavg^2+vyavg^2),3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\" $2\"\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "evalf(sqrt(2*k *T0/m),5); evalf(vavg,5);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&Y(G! \"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&ma#!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "A proper histogram of the velocity components \+ can be obtained by using Maple's statistics package. On the " }{TEXT 278 1 "x" }{TEXT -1 52 "-axis we will find velocities (in m/sec), whil e the " }{TEXT 279 1 "y" }{TEXT -1 108 "-axis does not show counts for the bins, but the ratio of counts to total particle number (count fre quency)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "with(stats):\nw ith(stats[statplots]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "h istogram(convert(vx,list),color=cyan,area=1);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 398 165 165 {PLOTDATA 2 "6%-%)POLYGONSG6,7&7$$!+!exz*f!\"'\" \"!7$F($\"+++++5!#67$$!+sfVO[F*F-7$F1F+7&F37$F1$\"+++++IF/7$$!+kV*[n$F *F67$F9F+7&F;7$F9$F.!#57$$!+cFN8DF*F>7$FAF+7&FC7$FA$\"+++++!)F/7$$!+[6 \"=N\"F*FF7$FIF+7&FK7$FI$\"+++++>F?7$$!*S&p->F*FN7$FQF+7&FS7$FQ$\"++++ +DF?7$$\"*o?Fr*F*FV7$FYF+7&Fen7$FY$\"+++++9F?7$$\"+wO\"G8#F*Fhn7$F[oF+ 7&F]oFjn7$$\"+%GbVH$F*Fhn7$F`oF+7&Fbo7$F`o$\"+4+++]F/7$$\"+!*o*eX%F*Fe o7$FhoF+7&Fjo7$Fho$\"+$)********!#77$$\"++&Quh&F*F]p7$FapF+-%'COLOURG6 &%$RGBGF+$\"*++++\"!\")Fhp-%%VIEWG6$;$!+)=>&frF*$\"+0,)*ynF*%(DEFAULTG " 1 2 0 1 10 0 2 6 1 4 2 1.000000 44.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }} }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 273 33 "Simulation of the particle moti on" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "The container is defined through it s dimensions: -" }{TEXT 280 1 "L" }{TEXT -1 3 " < " }{TEXT 281 1 "x" } {TEXT -1 3 " < " }{TEXT 282 1 "L" }{TEXT -1 8 " , and -" }{TEXT 283 1 "L" }{TEXT -1 3 " < " }{TEXT 284 1 "y" }{TEXT -1 3 " < " }{TEXT 285 1 "L" }{TEXT -1 162 ". To propagate the ensemble of molecules we can use the solution to Newton's equation for rectilinear motion with possibl e reflections from one of the four walls." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "W choose a size for the container in meters and pick random initia l positions." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "L:=0.1;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"LG$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 1 to Np do:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 67 "x[i]:=evalf((randx()-0.5)*2*L); y[i]:=evalf((randx( )-0.5)*2*L); od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "i:='i': plot([[x[i],y[i]]$i=1..Np],-L..L,-L..L,style=point,axes=boxed,scaling =constrained);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 302 166 166 {PLOTDATA 2 " 6'-%'CURVESG6$7`q7$$\"1++++rjcb!#<$!1+++!Qun$o!#=7$$\"1+++;Cw=gF*$\"1+ ++Y?5O>F*7$$\"1++++Y'H(yF*$!1+++a%yX-$F*7$$\"1+++MRIx]F*$\"1+++Q3n/XF* 7$$\"1+++/qj0CF*$\"1+++oy%*)\\(F*7$$\"1+++_7%f`(F*$!1,++aotlvF*7$$\"1+ ++#=)=(4$F*$!1+++!))['GvF-7$$\"1+++%o&p*>&F*$\"1*****fiI$3))F*7$$\"1,+ +gi#)****F-$!1+++]p]4()F*7$$\"1*****fjhO\"zF*$!1+++'o#pNJF*7$$\"1,++UC ?:#*F*$!1+++YP./VF*7$$!1+++9ZZx&*F*$!1+++OK*3d\"F*7$$!1+++Qg(oe(F*$!1+ ++#eV\"=6F*7$$\"1+++s(>:3%F*$\"1+++!>,FE%F*7$$\"1*****>G())[))F*$!1+++ SXHXkF-7$$\"1+++!=U*G\\F*$!1+++K-XinF*7$$!1,++aO*QV)F*$!1+++SpuyTF*7$$ !1+++'[T&R;F*$!1+++'yyh*HF*7$$!1+++s$HtZ$F*$!1+++E8PV8F*7$$!1++++ZQ9CF *$!1+++GGOb))F*7$$\"1+++W?;\"p\"F*$\"1+++y3kvjF*7$$\"1,++1*QD6*F*$\"1+ ++)yj_3'F*7$$\"1+++-plsBF*$\"1+++kY=B*)F*7$$\"1+++U%R#HFF*$\"1*****R,m (o#)F*7$$\"1+++Un/mZF*$\"1+++)GX>1#F*7$$\"1+++_.yB]F*$\"1+++#\\N%GMF*7 $$!1+++!y9ZI)F-$\"1+++KC>\")**F*7$$\"1*****fV%39nF*$\"1+++Kk4')oF*7$$ \"1+++gD,[[F*$\"1+++MIG$G)F*7$$!1+++)zZ]<#F*$\"1+++G=*)\\\\F*7$$!1+++C 9'y_%F*$!1+++Knw$y&F*7$$\"1+++UJ&o(HF*$!1+++arsn>F*7$$\"1+++/b$Gh'F*$ \"1+++c*>&\\mF*7$$\"1+++?9gSVF-$!1+++Ma&)=?F*7$$!1+++'*>j0SF*$!1+++g2p S9F-7$$!1+++)4%*G!>F*$!1+++kn^\"=$F*7$$\"1+++)GxCO#F*$\"1+++=cD%y\"F*7 $$\"1+++#*zyw*)F*$!1+++OeNZxF*7$$!1+++!GK%GGF-$\"1+++Ib.0(*F*7$$!1+++! eEO](F*$!1+++#)4WreF*7$$\"1+++[$e\\G'F*$!1+++)en!QCF*7$$!1+++;yyzYF*$! 1++++vW38F-7$$!1+++i;dy()F*$!1+++/S0!)\\F*7$$\"1+++O(o8D$F*$\"1+++ye0> rF*7$$\"1+++KgSfCF*$\"1+++at@GgF*7$$\"1*****zp$*zj(F*$!1+++g*)44JF-7$$ !1+++%3))3;&F*$\"1+++-Sm#y$F*7$$!1+++_t[^OF*$\"1+++iJ$=8#F*7$$\"1+++!z Vd/$F*$!1++++!H+G'!#>7$$\"1+++_E)4J%F*$\"1+++%))*\\)z\"F*7$$!1,++kMFw' )F*$\"1+++M$3Gm*F*7$$\"1+++3$pyf'F*$!1+++=.!>c#F*7$$\"1+++)3-e4'F*$\"1 +++sDvf7F*7$$\"1+++u@:#*GF*$!1+++%Qh%)z%F*7$$!1+++!)za@OF-$\"1+++YTMJ[ F*7$$\"1+++'3z:'**F*$!1+++Y&eGY%F*7$$\"1+++W4eB(*F*$\"1+++k(o/#eF*7$$! 1+++)\\>j3'F*$!1+++'p%Gl*)F*7$$\"1+++#[:8))*F*$!1+++AHq\"Q#F*7$$!1+++e :ffIF*$!1+++WE'H2\"F*7$$!1+++srkqhF*$\"1+++k?p8MF*7$$\"1+++)y0,$fF*$\" 1+++aG(30'F*7$$!1*****>/L05)F*$\"1+++_C)3o*F*7$$!1+++q()*op#F*$\"1+++S t8.8F*7$$!1+++)H*\\O()F*$!1+++gF\\zJF-7$$!1+++!==3_'F-$\"1+++m5>*e#F*7 $$!1*****>()GX$oF*$\"1+++[-^t*)F*7$$!1+++y(Q(eSF*$\"1+++it[qjF*7$$\"1+ ++krj1&)F*$\"1+++aC4SEF*7$$!1*****R[%=5nF*$!1+++SMIGwF*7$$!1+++il')Q]F *$\"1*****R(\\%H;*F*7$$!1+++u%\\,a'F*$!1*****zEj*)z*F*7$$!1+++w!REhF*$\"1+++%G\"zYZF*7$$!1+++Q [:6oF*$!1+++?_mxYF*7$$!1+++ucS3_F*$\"1++++\\UK_F*7$$\"1+++[5Us'*F*$\"1 +++oC)e_#F*7$$\"1+++35F^RF*$!1+++Mm*e#oF*7$$!1+++s!z3]*F*$!1+++u;\"3i \"F*7$$\"1+++[!y*>RF*$!1+++-$4*=BF*7$$!1+++K!))p$eF*$!1,++KW\"39(F*7$$ \"1+++O%G_i&F*$\"1+++C$\\rk#F*7$$\"1+++-dDDGF*$!1+++mNQUzF*7$$!1+++uN` -**F*$!1+++S/**o9F*7$$!1+++'ei&ogF*$\"1+++7_4vlF*7$$\"1+++/+a`lF*$\"1+ ++wy&4*\\F*7$$!1+++A-,LIF*$\"1+++M([FK)F*7$$\"1+++9dPD^F*$!1+++iG`ZrF* 7$$!1+++#[JR_$F*$\"1+++3*>z9#F*7$$\"1++++2emnF-$!1+++SQP4AF-7$$!1+++Yc IZ7F*$!1+++%)QpC#*F*7$$\"1+++!RjBe)F*$!1+++a7(z+*F*7$$!1*****>TQdf)F*$ \"1+++GsO*R#F*7$$!1++++!fNx\"Fhz$!1+++W0V/%*F*7$$\"1+++#ya=l)F*$!1+++% R@;K$F*-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"\"\"!F_[m-%&STYLEG6#%&POINTG-%+AXES LABELSG6$%!GFg[m-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG-%%VIEWG6$;$F^[mF^[m$\"\"\"F^[mF_ \\m" 1 5 0 1 10 0 2 9 1 2 1 1.000000 47.000000 44.000000 0 0 "Curve 1 " }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 201 "To propagate the particles \+ we need to determine the time at which they collide with one of the wa lls. A scan has to be performed and the particles are updated at each \+ time that one of them hits a wall." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "We can limit the run time of the simulation by fixing the total number o f collisions with the walls (our choice for " }{TEXT 19 5 "ntmax" } {TEXT -1 49 " corresponds to 20 wall encounters per particle)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "An averag e collision interval or time scale for our problem is given by:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "tscale:=2*L/vavg;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'tscaleG$\"+Au_`y!#9" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 38 "Inside the loop we determine the time " }{TEXT 19 5 "tcoll" }{TEXT -1 102 " at which the next particle will encounter on e of the walls. This check is done independently for the " }{TEXT 296 1 "x" }{TEXT -1 6 "- and " }{TEXT 295 1 "y" }{TEXT -1 131 "-components of each particle's motion. A compact expression can be found that is \+ valid irrespective of the particle direction: for " }{TEXT 297 1 "v" } {TEXT -1 15 ">0 one relates " }{TEXT 298 3 "v t" }{TEXT -1 8 "_c with \+ " }{TEXT 302 1 "L" }{TEXT -1 1 "-" }{TEXT 301 1 "x" }{TEXT -1 6 ", for " }{TEXT 300 1 "v" }{TEXT -1 15 "<0 one relates " }{TEXT 299 3 "v t" }{TEXT -1 9 "_c with -" }{TEXT 303 1 "L" }{TEXT -1 1 "-" }{TEXT 304 1 "x" }{TEXT -1 50 ". This can be combined into one expression using " }{TEXT 306 1 "L" }{TEXT -1 6 " sign(" }{TEXT 305 1 "v" }{TEXT -1 2 "). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 199 "All \+ other particle positions are updated, and the velocity component perpe ndicular to the wall is reversed for the colliding particle. In additi on we sum the momentum transfer to the container (mass " }{TEXT 287 1 "m" }{TEXT -1 118 " times twice the velocity component perpendicular t o the wall - this comes from elastic collisions of objects of mass " } {TEXT 286 1 "m" }{TEXT -1 229 " with an infinitely heavy object). The \+ force impulse due to the collision can be converted to an incremental \+ pressure increase on the container (by dividing the force by the conta iner area, and averaging over time). The variable " }{TEXT 19 4 "Delv " }{TEXT -1 59 " accumulates the momentum transfers (apart from the fa ctor " }{TEXT 288 1 "m" }{TEXT -1 46 "). The pressure information is a ccumulated in " }{TEXT 19 1 "P" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "tcoll:=tscale: P[0]:=0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "tim:=0: Delv:=0: Area:=8*L: Vol:=(2*L)^2: ntmax:=Np*2 0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "for ntim from 1 to ntmax do: \+ #step through collisions" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "for i f rom 1 to Np do: #determine shortest collision time" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 34 "tx[i]:=(L*sign(vx[i])-x[i])/vx[i]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "if tx[i] " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 "ty[i]:=(L*sign(vy[i])-y[i])/vy[ i]:if ty[i] \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "tim:=tim+tcoll: #now update positions:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "for i from 1 to Np do:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "x[i]:=evalf(x[i]+vx[i]*tcoll): y[i]:=evalf(y [i]+vy[i]*tcoll): od: tcoll:=tscale:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "#now reverse the momentum (velocity) of colliding TP:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 142 "if tx[icoll] " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "P[ntim]:=m*Delv/(Area*tim):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "P[ntmax-1000],P[ntmax-5 00],P[ntmax];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$\"+/\"ok[$!#E$\"+3$= Y[$F%$\"+v_s!\\$F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 165 "Evidently \+ the value of the pressure is stable in the later parts of the simulati on. To display the time evolution we perform averages over a certain n umber of steps." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "Pa:=[seq (add(P[(i-1)*20+nu],nu=1..20)/20,i=1..ntmax/20)]:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "i:='i': plot([[i,10^(17)*Pa[i]]$i=2..nops(Pa )],style=point);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 544 141 141 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6$7_q7$$\"\"#\"\"!$\"1+++SP2;G!#:7$$\"\"$F*$\"1+++U$e%H JF-7$$\"\"%F*$\"1+++PEl#R$F-7$$\"\"&F*$\"1+++ZYupMF-7$$\"\"'F*$\"1+++i lzkKF-7$$\"\"(F*$\"1+++UB'4U$F-7$$\"\")F*$\"1+++PCt[MF-7$$\"\"*F*$\"1+ ++wkUxMF-7$$\"#5F*$\"1+++#>*33MF-7$$\"#6F*$\"1+++Y$p=R$F-7$$\"#7F*$\"1 +++:C)eT$F-7$$\"#8F*$\"1+++Z$)\\qMF-7$$\"#9F*$\"1+++lQ?_MF-7$$\"#:F*$ \"1+++7a#eX$F-7$$\"#;F*$\"1+++*[+F\\$F-7$$\"#F*$\"1+++\\]n^MF-7$$\"#?F*$\"1+++O(fuS$F-7$$\" #@F*$\"1+++)y!y`MF-7$$\"#AF*$\"1+++kv`nMF-7$$\"#BF*$\"1+++/VT&[$F-7$$ \"#CF*$\"1+++I=-rMF-7$$\"#DF*$\"1+++dfc]MF-7$$\"#EF*$\"1+++<,tjMF-7$$ \"#FF*$\"1+++ef/+NF-7$$\"#GF*$\"1+++)zSbY$F-7$$\"#HF*$\"1+++l_W^MF-7$$ \"#IF*$\"1+++T?AsMF-7$$\"#JF*$\"1+++)R$[\"[$F-7$$\"#KF*$\"1+++NQwnMF-7 $$\"#LF*$\"1+++`:;wMF-7$$\"#MF*$\"1+++v_[oMF-7$$\"#NF*$\"1+++?yfsMF-7$ $\"#OF*$\"1+++L2ntMF-7$$\"#PF*$\"1+++HV#GZ$F-7$$\"#QF*$\"1+++r`l([$F-7 $$\"#RF*$\"1+++\"ep8[$F-7$$\"#SF*$\"1+++n*>GX$F-7$$\"#TF*$\"1+++6(*fMF-7$$\"#]F*$\"1+ ++HV6uMF-7$$\"#^F*$\"1+++J\">!*\\$F-7$$\"#_F*$\"1+++U`#G[$F-7$$\"#`F*$ \"1+++R.*HZ$F-7$$\"#aF*$\"1+++^ZKvMF-7$$\"#bF*$\"1+++#3R7[$F-7$$\"#cF* $\"1+++6ls#\\$F-7$$\"#dF*$\"1+++OkTwMF-7$$\"#eF*$\"1+++VW#[$F-7$$\"#wF*$\"1+++L /u)[$F-7$$\"#xF*$\"1+++t\\')zMF-7$$\"#yF*$\"1+++`7)zY$F-7$$\"#zF*$\"1+ ++tfhxMF-7$$\"#!)F*$\"1+++\"Gz\")[$F-7$$\"#\")F*$\"1+++X&**G\\$F-7$$\" ##)F*$\"1+++['3x[$F-7$$\"#$)F*$\"1+++!)*43[$F-7$$\"#%)F*$\"1+++$*p*R[$ F-7$$\"#&)F*$\"1+++I2tuMF-7$$\"#')F*$\"1+++6**)R[$F-7$$\"#()F*$\"1+++( )yZ&[$F-7$$\"#))F*$\"1+++sXE!\\$F-7$$\"#*)F*$\"1+++p21*[$F-7$$\"#!*F*$ \"1+++5t%zZ$F-7$$\"#\"*F*$\"1+++uH#G[$F-7$$\"##*F*$\"1+++Lk,&\\$F-7$$ \"#$*F*$\"1+++psq'[$F-7$$\"#%*F*$\"1+++3l(f[$F-7$$\"#&*F*$\"1+++]3q([$ F-7$$\"#'*F*$\"1+++<8I\"[$F-7$$\"#(*F*$\"1+++ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " Pr:=Np/Vol*k*T0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#PrG$\"++++]M!#E " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 261 "We are getting a close answe r from the simulation. It is possible that the truncation of the veloc ity interval results in a distribution that corresponds to a somewhat \+ lower temperature. In fact, the average speed in the sample fell short of the expected value." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 636 "One should not be too surprised that the simulation comes up with a value for the pressure that agrees with the ideal gas law. The derivation of the ideal gas law is given in first-year physi cs texts which emphasize the connection between descriptive thermodyna mics and kinetic theory (e.g., Serway, 4th ed., chapter 21). The relat ionship between the gas pressure and the average molecular kinetic ene rgy (which is connected to the temperature) follows from a straightfor ward argument about the momentum transfer for a particle collision at \+ the wall, and the time it takes to traverse the container between two \+ molecule-wall collisions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "One has to \+ sum over all molecules (thus, the dependence on the particle number, a nd to convert the force impulse to a pressure." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 572 "The simple progr amming exercise allows one to verify the ideal gas law by simulation. \+ Note that we have not included collisions between the gas molecules (h ence ideal gas), and that we have not discussed the mechanism by which the gas acquires and maintains its temperature. In a real setting the heating is provided through (some of) the walls. Maintaining the wall s at some temperature implies that the walls are not stationary and im part kinetic energy on the gas molecules during the collisions. Nevert heless, we can verify a few predictions made by the ideal gas law." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 311 11 "Exercise 3:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 274 "Repeat the present simulation wit h a new ensemble of particles. How consistent is the result for the pr essure? Increase/decrease the ensemble size by a factor of two, and ob serve the effect on the scatter in the results for the gas pressure fo r the chosen temperature value." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 289 11 "Exercise 4:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 290 "Repeat the simulation for different values of the temperature T0. Graph the result for the pressure as a function of T0, and compare wi th the expected result from the ideal gas law. Explain why discrepanci es will appear at high T0, unless the algorithm for the sample selecti on is modified." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 290 11 "Exercise 5:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 182 "Change the \+ volume of the container. Repeat simulations at temperature values T0 f or which results for the pressure were obtained before. Check the cons istency with the ideal gas law." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 291 11 "Exercise 6:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "At constant volume and temperature observe the dependence of the p ressure on the particle number." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 292 16 "Pressure balance" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 155 "An interesting extens ion of the simulation is to replace the top wall of the container by a piston which experiences the force of gravity due to some mass " } {TEXT 293 1 "M" }{TEXT -1 102 ". The educational program package Alber t (Springer-Verlag) contains a simulation of this set-up. This " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 295 "What mod ifications do we require from our program to accomodate this change? W e can imagine that the height of the piston is a direct function of th e gas pressure: if the external pressure exceeds the gas pressure, the piston moves down; if the gas pressure exceeds the pressure due to th e mass " }{TEXT 294 1 "M" }{TEXT -1 245 " pushing the piston down as a result of gravity, the piston moves up. Eventually the piston reaches a height at which the two pressures are equal (equilibrium). It is pr obably useful to add some friction to the equation of motion for the p iston." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 188 "The main addition to the simulation is the equation of motion for the piston. This can be handled by a very naive step-by-step integrat ion of Newton's equation for piston height (variable " }{TEXT 19 2 "H0 " }{TEXT -1 41 " in the program below) and piston speed (" }{TEXT 19 2 "V0" }{TEXT -1 144 "). In addition one has to modify the collision t ime criterion by checking separately for collisions with the variable \+ upper wall (piston height " }{TEXT 308 1 "H" }{TEXT -1 25 " instead of fixed height " }{TEXT 307 1 "L" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "The Newton equation for \+ the piston height depends on the pressure of the gas times the surface area of the piston (length " }{TEXT 309 1 "L" }{TEXT -1 355 " in the \+ 2D simulation). When the external mass on the piston is increased, and the piston moves down, the gas pressure increases on account of the f act that more collisions occur in the vertical direction as a result o f the reduced path length. At some point the gas pressure is sufficien t to overcome the downward pressure, and some equilibrium is found." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "We start the simulation at the end of a previous cycle (piston height " } {TEXT 310 1 "L" }{TEXT -1 53 "). We have a well-defined value for the \+ gas pressure." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "When choosing the values of parameters we have to keep a few things in mind:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "1) this is a 2D simulation, and not a real-life one " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 316 "2) o ur sample of gas molecules is extremely small (100 instead of Avogadro 's number); it might be better to think of the particles as being bunc hes of particles, i.e., to increase their mass appropriately. Alternat ively, we can adjust the external mass to be very small [of the order \+ of 100/N_A, where N_A=6*10^(23)]" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 260 "3) the time scale over which simulations need to be run to reach equilibrium may be very long. To adjust for t his we chose a strong value for the gravitational acceleration (increa se by a factor of 100), and adjusted also the friction constant corres pondingly." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 276 "The simulation below runs for a very long time in Maple (hours ). Simulations are better performed in a compiled floating-point envir onment (Fortran, C, or Matlab). Nevertheless, one has to make compromi ses, and limit the realism of a simulation due to lack of computing po wer." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "M:=20*10^(-21);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>% \"MG#\"\"\"\"5+++++++++]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "b0:=100.; # friction constant for the piston" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#b0G$\"$+\"\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "g:=9.81*100; #artificial increase of gravity" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"gG$\"&+\")*!\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Prt:=Pr;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#>%$PrtG$\"++++]M!#E" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "H0 :=L; V0:=0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#H0G$\"\"\"!\"\"" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#V0G\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "tcoll:=tscale: P[0]:=Prt:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "ntmax:=Np*50:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 " for ntim from 1 to ntmax do: tim:=0: Delv:=0: Area:=4*L+4*H0: for iit from 1 to 40 do: #step through collisions" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "for i from 1 to Np do: #determine shortest collision \+ time" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "tx[i]:=(L*sign(vx[i])-x[i]) /vx[i]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "if tx[i] " 0 "" {MPLTEXT 1 0 124 "if vy[i ]>0 then ty[i]:=(H0-y[i])/vy[i]; 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To look a t the evolution as a function of time one would have to store the time in a table or list (by accumulating the variable " }{TEXT 19 3 "tim" }{TEXT -1 90 " in the loop), and plot the pressure and displacement of the piston against this variable." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 340 "The friction constant was chosen to be s ufficiently large to suppress much large-scale oscillations. It is int eresting to observe that despite the erratic input from the pressure m easurements the piston height turns out to be a rather smooth function . This is the result of the smoothing properties of the integration of Newton's equations." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 314 11 "Exercise 7:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 165 "If your computer runs fast enough (or you can \+ leave it to run unattended for hours) look at the results for differen t values of the input parameters: (external mass " }{TEXT 313 1 "M" } {TEXT -1 20 ", friction constant " }{TEXT 312 1 "b" }{TEXT -1 153 "). \+ You can also look at runs for different initial temperatures (in this \+ case the first part of the worksheet has to be re-run with a different value of " }{TEXT 19 2 "T0" }{TEXT -1 29 "). For the present choice o f " }{TEXT 19 7 "T0=1000" }{TEXT -1 71 " (Kelvin) we found the approxi mate equilibrium positions and pressures:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Mass Height H \+ Pressure P" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "5*10^(-21) 0.06 " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "1*10^(-20) 0.0 1*10^(-1 6)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "2*10^(-20) -0.04 2*1 0^(-16)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Verify that pressure time volume (area of the rectangle in the 2D case) remains approximately constant." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "93" 0 }{VIEWOPTS 0 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }