{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Input" 2 19 "" 0 1 255 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
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257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 
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0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
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0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
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{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
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" 1 10 0 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 
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t" -1 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }
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-1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 
2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 54 "The mapped Fourier grid m
ethod for the Coulomb problem" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "E.Fattal, R. Baer, R. Kosloff, Phys. Rev.
 " }{TEXT 257 4 "E 53" }{TEXT -1 49 ", 1217 (1996); F. Brau, C. Semay,
 J. Comp. Phys. " }{TEXT 258 3 "139" }{TEXT -1 84 ", 127 (1998); V. Ko
kouline, O. Dulieu, R. Kosloff, F. Masnou-Seeuws, J. Chem. Phys. " }
{TEXT 259 3 "110" }{TEXT -1 134 ", 9865 (1999) for implementation deta
ils. The Fourier grid method itself goes back to the pioneering work o
f R. Meyer, J. Chem. Phys. " }{TEXT 260 2 "52" }{TEXT -1 14 ", 2053 (1
970)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 218 
"In fact, some of the references by Kosloff et al are confusing the is
sues as to what basis is used. The work is in coordinate space in a po
sition eigenstate basis (a Kronecker delta basis, which has the right \+
limit as " }{TEXT 19 2 "dx" }{TEXT -1 69 " is sent to zero, i.e., the \+
basis function is a Kronecker divided by " }{TEXT 19 2 "dx" }{TEXT -1 
27 ", with the assumption that " }{TEXT 19 8 "x_j=j*dx" }{TEXT -1 117 
". Important implementation details concern questions like: even or od
d number of grid points, and whether the entire " }{TEXT 19 1 "x" }
{TEXT -1 18 "-axis or only the " }{TEXT 19 3 "x>0" }{TEXT -1 166 " reg
ion are used in the problem. The Fourier grid method makes use of the \+
fact that the Fourier transform of the Kronecker delta function is kno
wn as a plane wave in " }{TEXT 19 1 "p" }{TEXT -1 337 "-space. This pe
rmits a direct calculation of kinetic energy matrix elements in coordi
nate representation as a non-diagonal matrix. The potential matrix is,
 of course, calculated as a diagonal matrix with no matrix elements to
 be evaluated. For some Fourier grids the kinetic energy matrix can be
 calculated in closed form (cf. R. Meyer)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Our work here uses a mix of me
thods from the above references. It implements the Fourier-sine repres
entation on the " }{TEXT 19 6 "(0,Pi)" }{TEXT -1 787 " interval. This \+
then corresponds really to a Fourier series expansion which is close i
n spirit to the original work of Meyer, and also to the more recent wo
rk of Brau and Semay. It has a drawback in that we do not have a close
d-form expression for the kinetic energy matrix. On the other hand the
 matrix can be calculated once and stored, and then re-used for many a
pplications. Its computation cost will become only considerable for ve
ry large grids. The advantage of the method is that it makes use of a \+
pure sine expansion, i.e., the symmetry of the radial problem is imple
mented directly. In order to attack Coulomb-type problems we then impl
ement a mapping along the lines of the first reference, i.e., the work
 of Kosloff et al with a further adaptation in order to connect to the
 " }{TEXT 19 6 "(0,Pi)" }{TEXT -1 99 " interval. At first, we demonstr
ate, however, the virtues of the mapping as presented in that work." }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "The rec
tangular Fourier grid is not working well for problems in which there \+
is a correlation between position and momentum variables, such as in t
he Coulomb problem: small " }{TEXT 19 1 "r" }{TEXT -1 21 " corresponds
 to high " }{TEXT 19 1 "p" }{TEXT -1 14 ", while large " }{TEXT 19 1 "
r" }{TEXT -1 22 " corresponds to small " }{TEXT 19 1 "p" }{TEXT -1 45 
". The singularities in the potential in both " }{TEXT 19 1 "r" }
{TEXT -1 5 " and " }{TEXT 19 1 "p" }{TEXT -1 176 " space are responsib
le for an inadequacy of the rectangular Fourier grid. The idea behind \+
the mapping is to use the classical phase space region as a guide. For
 a given energy " }{TEXT 19 8 "E=H(r,p)" }{TEXT -1 203 " the classical
ly allowed region maps out a volume in phase space. The wave function \+
for a bound state will decrease exponentially beyond this regime. The \+
idea is to apply a canonical transformation from " }{TEXT 19 7 "(p,q=r
)" }{TEXT -1 6 " into " }{TEXT 19 5 "(P,Q)" }{TEXT -1 38 ", and to emp
loy a rectangular grid in " }{TEXT 19 5 "(P,Q)" }{TEXT -1 151 ". Our o
bjective is to demonstrate that a good approximation to the bound-stat
e spectrum can be obtained when using a Fourier collocation method in \+
the " }{TEXT 19 5 "(P,Q)" }{TEXT -1 11 " variables." }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "restart; \+
with(LinearAlgebra): with(plots):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warn
ing, the name changecoords has been redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 135 "Let us demonstrate the problem by contour diagrams \+
for classical energies of some Rydberg levels. Atomic units (hbar=m_e=
e=1) are used." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "En:=n->-1
/(2*n^2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#EnGf*6#%\"nG6\"6$%)ope
ratorG%&arrowGF(,$*&#\"\"\"\"\"#F/*&F/F/*$)9$F0F/!\"\"F/F5F(F(F(" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "Hpq:=p^2/2-1/q;" }}{PARA 11 
"" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$HpqG,&*&\"\"#!\"\"%\"pGF'\"\"\"*&F*F*%\"qGF(
F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "contourplot(Hpq,q=-0
..100,p=-1..1,levels=[En(1),En(2),En(3),En(4),En(5)],numpoints=10000,f
illed=true);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 551 551 551 {PLOTDATA 2 "6/
-%'CURVESG6]_l7$7$$\"3'*************f>!#<$!\"\"\"\"!7$$\"3U(GZHmB:'>F*
$!3id%*eKZI#***!#=7$7$$\"3/+++++g**>F*$!3%4++++++!)*F3F.7$7$F6$!3#)***
**********z*F37$$\"3#)[dJS\\h**>F*$!3))[J1))H#**z*F37$7$$\"\"#F-$!3S(*
)HV9Qzz*F3F>7$7$FE$\"3i4*HV9Qzz*F37$F6$\"398++++++)*F37$7$F6$\"3/7++++
++)*F37$$\"3gO@(o]$e**>F*$\"3![eD')H$3+)*F37$7$F($\"35,++++++5F*FT7$FD
7$$\"3N\\D>@))=.@F*$!3!)3&QUwP1i*F37$7$$\"3&*fp(*****>:@F*$!3k********
*****f*F3Fhn7$F^o7$$\"3j'o*zi]u0AF*$!3LP*fD,\\6W*F37$7$$\"3&)fT&*****>
HAF*$!3Y*************R*F3Fdo7$Fjo7$$\"3g9(*\\-^e1BF*$!3wT**\\?qJh#*F37
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3wV'G+cR63*F37$7$$\"3=++\"*******\\CF*$!37***************)F3F\\q7$Fbq7
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Fjs$!3e)************R)F37$$\"3c^m6j*[Yy#F*$!3!)GLi#zHpN)F37$7$$\"3#)Ru
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37$7$F^vF`w7$$\"3;JY5)R$pbHF*$\"3s$3z.Kh)3!)F37$7$Fit$\"3i5++++++#)F3F
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\"3U**fp+++'p&F*$!35'************f&F3F\\\\m7$7$$\"3I+gp+++'p&F*Fe\\m7$
$\"3g$f3?dG9x&F*$!3O9<S9dGabF37$7$$\"\"'F-$!3JKOOwvv:aF3F[]m7$7$Fb]m$
\"3_WOOwvv:aF37$Fc\\m$\"3I3++++++cF37$7$Fi\\mF[^m7$$\"3tk-z@R*z`&F*$\"
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3:!)3P,+!)GuF*$!3Q&************z%F3Fcdm7$7$$\"3.\")3P,+!)GuF*$!3%f****
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\"32?>.++![S\"Fh\\n$!3'R************>$F3Fddn7$Fjdn7$$\"3wyL%olW'e9Fh\\
n$!3L^no8$*G<JF37$7$$\"#:F-$!3cNx'4WjP0$F3F`en7$7$Fgen$\"3K[x'4WjP0$F3
7$F[en$\"3=1++++++KF37$F_fn7$F]cn$\"3W.(ppSEp?$F37$Ffen7$$\"3A\"*\\Wqr
2;:Fh\\n$!3[w**)3Ma@.$F37$7$$\"3/+![++++a\"Fh\\n$!3w$*************HF3F
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FbilFfcbt7$FicbtFf^m7$$\"3icK0q!pal\"F*$\"3ac$*)f=1*oeF37&F^dbtF^dbtFb
iblF`dbt7&7$Fai_lFeilF^dbtFbiblFcibl7&FgdbtFgdbtF[jblFcibl7&7$Fai_lF_j
lFgdbtF[jblF\\jbl7&FjdbtFjdbt7$$\"3!)**********R!f\"F*F_jlF\\jbl7&7$Fa
i_lFijlFjdbtF\\ebtFdjbl7&F`ebtF`ebtFjjblFdjbl7&7$Fai_lFgblF`ebtFjjblF
\\[cl7&FcebtFcebtFb[clF\\[cl7&7$Fai_lF^fsFcebtFb[cl7$$\"3PCbZCbZC:F*Fh
[cl7&FfebtFfebt7$$\"3z************4:F*F^fsFgebt7&FagatFfebtF[fbt7$$\"3
i%RHMBxc\\\"F*F`\\cl7&FagatFagatFbgatF_fbt7&F[iatF[iatFc]blF\\iat7&7$F
ai_lFcapF[iatFc]bl7$$\"3)[%39!p\"G!)>F*$\"31P=(>mVRS\"F37&FefbtFefbtFj
]blFffbt7&FijatFefbtFj]blFa[bt7&FadatFadatF\\falFbdat7&7$Fai_lFcjpFada
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F][ctF][ctF[]alF^[ct7&7$Fai_lF_]nF][ctF[]alFb]al7&Fc[ctFc[ctF\\^alFb]a
l7&7$Fai_lF__nFc[ctF\\^al7$F`^al$!3#fL#Q!>T:x$F37&Ff[ctFf[ctFe^alFg[ct
7&7$Fai_lF_anFf[ctFe^al7$Fj^al$!3MzC#)pyVuNF37&F\\\\ctF\\\\ct7$F`_al$!
3e$************R$F3F]\\ct7&7$Fai_lF]enF\\\\ctF__al7$Fg_al$!3/&o`!37=xL
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e`l7&Fj^ctFj^ctFge`lF]e`l7&7$Fai_lF^ilFj^ctFge`lFje`l7&F]_ctF]_ctFdf`l
Fje`l7&7$Fai_lFf[mF]_ctFdf`lFgf`l7&F`_ctF`_ct7$FicbtFf[mFgf`l7&Ff[btF`
_ctFb_ct7$$\"3%y3vS%*)4r;F*Fdg`l7&Ff[btFf[btFgg`lFd_ct7&Fj\\btFj\\btFg
[`lFa[`l7&7$Fai_lFeqFj\\btFg[`lF[\\`l7&Fj_ctFj_ctFa\\`lF[\\`l7&7$Fai_l
FarFj_ctFa\\`lFe\\`l7&F]`ctF]`ctF[]`lFe\\`l7&7$Fai_lF`sF]`ctF[]`lF_]`l
7&F``ctF``ct7$Ff`btF`sF_]`l7&7$Fai_lF`tF``ctFb`ctFi]`l7&Fd`ctFd`ctF_^`
lFi]`l7&7$Fai_lF[uFd`ctF_^`lFc^`l7&Fg`ctFg`ctFi^`lFc^`l7&7$Fai_lFjuFg`
ctFi^`l7$$\"3Q[wY`?q[8F*$!3))GNp5/up!)F37&Fj`ctFj`ctFc_`lF[act7&7$Fai_
lFe]lFj`ctFc_`lFj_`l7&FbactFbactF```lFj_`l7&7$Fai_lFa^lFbactF```lFd``l
7&FeactFeactFj``lFd``l7&7$Fai_lF`_lFeactFj``lF^a`l7&FhactFhactFda`lF^a
`l7&7$Fai_lF\\`lFhactFda`lFha`l7&F[bctF[bct7$FcgatF\\`lFha`l7&7$Fai_lF
h`lF[bctF]bctFbb`l7&F_bctF_bct7$F\\fbtFh`lFbb`l7&7$Fai_lFdalF_bctFabct
7$$\"3DzF%HwgJ_\"F*$!3M_&)e_@j/pF37&FcbctFcbctFbc`lFdbct7&Fa^ctFcbctFb
c`lFb^ct7&Fb\\btF`i_lF`i_lFci_l-F[_jr6&F]_jrFbi_lF-F-F^_jr-%+AXESLABEL
SG6$%\"qG%\"pG-%%VIEWG6$;$F-F-Fe`dm;F+Fai_l" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 
1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve \+
4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Curve 9" "Curve 10" "Curve
 11" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 388 "Kosloff et al. make the \+
point about the missing classical phase space volume at large momenta \+
and small r. One might think that this is not all that relevant for th
e quantum problem, because much of this space is inaccessible in quant
um mechanics due to the zero-point motion, but it turns out to be impo
rtant. In any case, the picture shows dramatically that a rectangular \+
region in the " }{TEXT 19 5 "(q,p)" }{TEXT -1 16 " variables with " }
{TEXT 19 3 "q=r" }{TEXT -1 309 " is very inefficient. Therefore, the o
bjective is to optimize the calculation by filling the classically acc
essible region with a rectangular region in a mapped variable. Kosloff
 et al make use of an arctan transformation (which we have used in dif
ferent form with finite-difference methods, e.g., J. Phys. B " }{TEXT 
265 2 "17" }{TEXT -1 24 ", 2591 and Phys. Rev. A " }{TEXT 266 2 "44" }
{TEXT -1 9 ", R5346)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "be
ta:=2.5E-4; A:=3999.9;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%betaG$\"#
D!\"&" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"AG$\"&***R!\"\"" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "rM:=Q->Q-A*arctan(beta*Q);" 
}}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#rMGf*6#%\"QG6\"6$%)operatorG%&arr
owGF(,&9$\"\"\"*&%\"AGF.-%'arctanG6#*&%%betaGF.F-F.F.!\"\"F(F(F(" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot(rM(Q),Q=0..5000);" }}
{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 770 249 249 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7S7$
$\"\"!F)F(7$$\"3MLLL3x&)*3\"!#:$\"3cT'H=-<\"oH!#>7$$\"3umm\"H2P\"Q?F-$
\"3Nt(zF\"e+7=!#=7$$\"3KLL$eRwX5$F-$\"3UGB1C%4!*G'F67$$\"3+ML$3x%3yTF-
$\"3ofu'4,-+_\"!#<7$$\"3)pm;z%4\\Y_F-$\"3QCn:?2(4*HFA7$$\"3BLLeR-/PiF-
$\"3il\"f0%on(*\\FA7$$\"3;++DcmpisF-$\"3??T#4/MY%yFA7$$\"3YLLe*)>VB$)F
-$\"3sV2*>B:J<\"!#;7$$\"3K++DJbw!Q*F-$\"3C$)py(esum\"FV7$$\"3)ommTIOo/
\"!#9$\"3YaMhB/*))H#FV7$$\"3KLL3_>jU6Fin$\"3wv)[j\"R$p'HFV7$$\"37++]i^
Z]7Fin$\"3gJyPp9J`QFV7$$\"3-++](=h(e8Fin$\"3iXd0Jc/&*[FV7$$\"3E++]P[6j
9Fin$\"3esJqDBD]gFV7$$\"3]L$e*[z(yb\"Fin$\"3&et<J@-LB(FV7$$\"3mmm;a/cq
;Fin$\"3&yj_h4!*=\"))FV7$$\"3%ommmJ<gw\"Fin$\"3m1%y9uG*H5F-7$$\"33+]iS
j0x=Fin$\"3jMQQrSo?7F-7$$\"3ommm\"pW`(>Fin$\"3od$>liHdS\"F-7$$\"35+]i!
f#=$3#Fin$\"3C4x&Hl!\\E;F-7$$\"3U+](=xpe=#Fin$\"3C%Hw[k;T&=F-7$$\"3smm
\"H28IH#Fin$\"3%=52AIG)4@F-7$$\"35n;zpSS\"R#Fin$\"3M!*G.A[1hBF-7$$\"3Q
LL3_?`(\\#Fin$\"3uic@D!e'\\EF-7$$\"3iL$e*)>pxg#Fin$\"3M*z%\\cGpoHF-7$$
\"36+]Pf4t.FFin$\"3sia-yqHiKF-7$$\"3WLLe*Gst!GFin$\"33w0qe1'ef$F-7$$\"
3/+++DRW9HFin$\"37>h4H\"G#eRF-7$$\"3)****\\7j#>>IFin$\"3?8`F<$y*HVF-7$
$\"3G+]i!RU07$Fin$\"3[)4/\"[Em0ZF-7$$\"30++v=S2LKFin$\"3JL+5eK#49&F-7$
$\"3Gmmm\"p)=MLFin$\"3_xTsZK+[bF-7$$\"3O++](=]@W$Fin$\"3MQ))z)>:!**fF-
7$$\"30L$e*[$z*RNFin$\"34-Z$=n/?U'F-7$$\"3Q++]iC$pk$Fin$\"33+`)>+s'**o
F-7$$\"3Um;H2qcZPFin$\"3_H*)fwXKjtF-7$$\"3Q+]7.\"fF&QFin$\"3]R='[u^B'y
F-7$$\"3kmm;/OgbRFin$\"3!=m/,w2TO)F-7$$\"3#)**\\ilAFjSFin$\"30&3nv&pr.
*)F-7$$\"3SLLL$)*pp;%Fin$\"3d)*z>d7\"pV*F-7$$\"3=LL3xe,tUFin$\"3Q^]1&y
)\\&***F-7$$\"3En;HdO=yVFin$\"3oN7)39Si0\"Fin7$$\"3?+++D>#[Z%Fin$\"3Hq
v?8!Q%46Fin7$$\"3#om;aG!e&e%Fin$\"3ea.&y[u;<\"Fin7$$\"3=LLL$)Qk%o%Fin$
\"3=?<_rIXG7Fin7$$\"3M+]iSjE!z%Fin$\"3[_(oti:,H\"Fin7$$\"3A+]P40O\"*[F
in$\"3]Og*>)4>]8Fin7$$\"%+]F)$\"3M\"3`s1oeT\"Fin-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#
5!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$Q\"Q6\"Q!Fe[l-%%VIEWG6$;F(Ffz%(DEFAULTG" 1 
2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "An equidistant mesh in " }{TEXT 
19 1 "Q" }{TEXT -1 38 " will concentrate may points at small " }{TEXT 
19 1 "r" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 77 "One needs to calculate the transformation. For a sin
gle-variable map we have:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
39 "beta:='beta': A:='A': J:=diff(rM(Q),Q);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%\"JG,&\"\"\"F&*(%\"AGF&%%betaGF&,&F&F&*&)F)\"\"#F&)%
\"QGF-F&F&!\"\"F0" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "The Hamilton
ian then simply becomes:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 
"HPQ:=P^2/(2*J^2)-1/rM(Q);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$HPQG,
&*(\"\"#!\"\"%\"PGF',&\"\"\"F+*(%\"AGF+%%betaGF+,&F+F+*&)F.F'F+)%\"QGF
'F+F+F(F(!\"#F+*&F+F+,&F3F+*&F-F+-%'arctanG6#*&F.F+F3F+F+F(F(F(" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Re-introduce the numerical values \+
for the mapping parameters:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
24 "beta:=2.5E-4; A:=3999.9;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%bet
aG$\"#D!\"&" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"AG$\"&***R!\"\"" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 111 "contourplot(HPQ,Q=-200..15
00,P=-0.02..0.02,levels=[En(1),En(2),En(3),En(4),En(5)],numpoints=1000
0,filled=true);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 551 551 551 {PLOTDATA 2 
"6/-%'CURVESG6f]m7$7$$\"\"%\"\"!$!3K'\\%pI0F]O!#?7$$\"3n?\\&R3!=2M!#<$
!3k,++++++OF-7$7$$\"3c@\\&R3!=2MF1F27$$\"37d#RL&GZ;LF1$!3OmQJ3q\"Re$F-
7$7$$!3O-/A!*H;ZJ!#=$!3-,++++++KF-F87$7$$!3!oS?-*H;ZJFA$!3Y,++++++KF-7
$$!3&fY,'pj62#)FA$!3-d]*3\\rl3$F-7$7$$!3\\!\\r&R<,7IF1$!3G,++++++GF-FJ
7$7$$!3g*[r&R<,7IF1FS7$$!3m6\"Q=U,'\\OF1$!3+$p4$y$4+i#F-7$7$$!3*\\43,F
`*3]F1$!35,++++++CF-FY7$7$$!35%43,F`*3]F1F\\o7$$!3B(z5pT>Ik&F1$!31`W[D
a5t@F-7$7$$!3)\\%pJQ0,*\\'F1$!3#4+++++++#F-Fbo7$7$$!3?VpJQ0,*\\'F1F[p7
$$!39&zljC&*=1(F1$!3i<-&=6?(R<F-7$7$$!3.og@![%>.wF1$!3s+++++++;F-Fap7$
Fgp7$$!3AFesWJDg!)F1$!3(z:rxLHiJ\"F-7$7$$!3iB$)*HP\"H*R)F1$!3)4++++++?
\"F-F]q7$Fcq7$$!3+%o#G'HgHt)F1$!3%H9^?M4S+*!#@7$7$$!3u9G?`R[P*)F1$!395
++++++!)F^rFiq7$7$$!3(H\"G?`R[P*)F1$!314++++++!)F^r7$$!3INZp^wYR\"*F1$
!33DCa_0O3\\F^r7$7$$!39ND3'oC!\\#*F1$!3]5++++++SF^rF[s7$Fas7$$!38#>#QX
wN;$*F1$!3m59dvPRn')!#A7$7$$!3gD9,$f]5N*F1$!3#*R&pBb>yv*!#OFgs7$F^t7$$
!337kaG[<%G*F1$\"3?(3_\\>)oDJF^r7$7$Fbs$\"3!**)************RF^rFet7$7$
$!3#p`#3'oC!\\#*F1$\"3W!*************RF^r7$$!3I?z!eJ]50*F1$\"3o$QD%o`$
32(F^r7$7$Far$\"3k!*************zF^rFdu7$Fju7$$!3i&o*e;&*H9')F1$\"3Io
\"\\u/2o4\"F-7$7$$!3SD$)*HP\"H*R)F1$\"3/*************>\"F-F^v7$Fdv7$$!
3CA![\"yW\\gzF1$\"3yMe[*RB9[\"F-7$7$$!3erg@![%>.wF1$\"3+*************f
\"F-Fjv7$7$$!3Otg@![%>.wF1$\"3A*************f\"F-7$$!3!*yt&Ru'3kqF1$\"
3W'**)z_9Lg=F-7$7$$!3I]pJQ0,*\\'F1$\"3=**************>F-F[x7$Fax7$$!37
\\Ll_&zU)eF1$\"3wU=f$GrDB#F-7$7$$!3)H53,F`*3]F1$\"3O*************R#F-F
gx7$7$$!3V*43,F`*3]F1F`y7$$!3)[2;)e[NfVF1$\"3_x.c-2p'f#F-7$7$$!3E+:dR<
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$\"3X;*HLpm)R9FA$\"3/fuUD(H2H$F-7$7$$\"3d0\\&R3!=2MF1$\"3M+++++++OF-Fa
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`r/V3:)z#F-7$7$$\"#@F*$!3i_/&*=ZKsFF-F[_l7$7$Fb_l$\"3?_/&*=ZKsFF-7$$\"
3#eV-y)*)=*3#Fi]lF_z7$Fj_l7$$\"35-D)Gg=43#Fi]l$\"3jM#)\\S(*[/GF-7$7$$
\"32<I:oG)e\"=Fi]lF[[lF^`l7$7$$\"3s;I:oG)e\"=Fi]lF[[l7$$\"3Uh%\\ylnl/
\"Fi]l$\"3A&=ZMVmyW$F-7$7$$\"339!)[l/**))yF1F`\\lF[al7$7$$\"3I7!)[l/**
))yF1F`\\lFh\\l7$7$$\"#QF*$!3;s4pa$f,c$F-7$$\"3@?v#)oBM;NFi]lFH7$F^bl7
$$\"3W)Hd\"f%HWZ#Fi]l$!3C$[8#\\55))GF-7$7$$\"3cVIwirC7BFi]lFSFbbl7$7$$
\"3@VIwirC7BFi]lFS7$Fb_l$!3?_/&*=ZKsFF-7$7$Fb_l$\"3i_/&*=ZKsFF-7$$\"3)
owM%GvJaAFi]l$\"35m%4L***ojFF-7$7$$\"3rHIwirC7BFi]lF_zFfcl7$7$F]dl$\"3
7*************z#F-7$$\"3Am%4S#zH<LFi]l$\"30'fc!fpd8HF-7$7$$\"32=v#)oBM
;NFi]lF[[lFcdl7$Fidl7$$\"3?g\"e*y5)*\\OFi]l$\"3*H!plp&)HNKF-7$7$Fjal$
\"3;s4pa$f,c$F-F]el7$7$$\"#bF*$!3C!)4AJr-[VF-7$$\"3GULK)34N:&Fi]l$!3#=
+++++++%F-7$F\\fl7$$\"3!z/$>ykw6UFi]l$!3qrI;Ii)op$F-7$7$$\"30]TG)H%HIS
Fi]lF2Fbfl7$7$Fifl$!3?,++++++OF-Fial7$Fcel7$$\"3#o0'**Ga;lRFi]l$\"3mu&
=haP6c$F-7$7$$\"35STG)H%HISFi]lF`\\lF`gl7$7$$\"3\"39%G)H%HISFi]lF`\\l7
$$\"3/`!3!Gp!o\"\\Fi]l$\"31AAH**=APPF-7$7$$\"3WRLK)34N:&Fi]l$\"35+++++
++SF-F]hl7$Fchl7$$\"3#***Rq5_N3`Fi]l$\"3ge!*f\"*G4XSF-7$7$Fhel$\"3C!)4
AJr-[VF-Fihl7$7$$\"#sF*$!3,O)3H\"*)>Q]F-7$$\"3g-'HD/@g*oFi]l$!3?-+++++
+[F-7$Fhil7$$\"3M7ggGGzcgFi]l$!3tj!>t255`%F-7$7$$\"33Y))\\2;3tdFi]l$!3
+-++++++WF-F^jl7$7$$\"3yY))\\2;3tdFi]lFgjl7$Fhel$!3Oz4AJr-[VF-7$F_il7$
$\"3%)Q(RXmtjo&Fi]l$\"3et%\\IPZhN%F-7$7$$\"3%o$))\\2;3tdFi]l$\"3E+++++
++WF-Fa[m7$Fg[m7$$\"3e;m;se%Qf'Fi]l$\"3Wzmm+XiUXF-7$7$$\"3w*fHD/@g*oFi
]l$\"3K,++++++[F-F]\\m7$7$Fd\\m$\"3Y+++++++[F-7$$\"3u@p^.)G4.(Fi]l$\"3
=>g*zX\"yR[F-7$7$Fdil$\"3,O)3H\"*)>Q]F-F\\]m7$7$$\"#*)F*$!3mlM&Q,75l&F
-7$$\"31?uI&)4'p#))Fi]l$!3a-++++++cF-7$7$$\"3[@uI&)4'p#))Fi]lF^^m7$$\"
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jf]vFjf]vFhiauF^g]v7&F\\\\^vF\\\\^vFb\\_vFc\\^v7&Fc\\^vFc\\^vFe\\_vFb
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^^vFd^^vFg^_vFd^_v7&Fd^^vFd^^vFg^_vFj^^v7&Fbf]vFbf]vFbfauFa[bu7&Fef]vF
ef]vFa[buFbf]v7&Fj^^vFj^^vF`__vFg^_v7&Fj^^vFj^^vF`__vF`_^v7&F`_^vF`_^v
Ff__vF`__v7&F`_^vF`_^vFf__vFd_^v7&Fd_^vFd_^vFi__vFf__v7&Fd_^vFd_^vFi__
vFh_^v7&Fh_^vFh_^vF\\`_vFi__v7&F\\`_vFh_^v7$Fj^clF_`^vF_dcm7&Fej]vF\\`
_vF[dcm7$$\"3qFz1a)H8[#Fi]l$!3K'RX:nC(*)GF-7&F_f]vF_f]vF^fauFbfau7&Fbf
]vFbf]vFbfauF_f]v7&Fej]vFej]vF_e_vFfj]v-Fg\\iq6&Fi\\iqFj\\iqF*F*F[]iq-
%+AXESLABELSG6$%\"QG%\"PG-%%VIEWG6$;FbigmFfgco;$!\"#Fdf_v$F[bctFdf_v" 
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ve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" "Curve 6" "Curve 7" "Curve 8" "Cur
ve 9" "Curve 10" "Curve 11" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Th
e remap of the variables (canonical transformation) from " }{TEXT 19 
5 "(q,p)" }{TEXT -1 4 " to " }{TEXT 19 5 "(Q,P)" }{TEXT -1 200 " leads
 to a rectangular area in which one has not only good efficiency in te
rms of coverage of the classically accessible region, but, in fact, al
so enclosure of that region which was not possible in " }{TEXT 19 5 "(
q,p)" }{TEXT -1 88 " with the same amount of effort. The diagrams are \+
similar to Figs. 3,4 in the reference." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 124 "Now we are armed to proceed with the
 spectrum calculation. The kinetic energy in the transformed variables
 is a function of " }{TEXT 19 1 "P" }{TEXT -1 5 " and " }{TEXT 19 1 "Q
" }{TEXT -1 101 ". Therefore, one has to figure out a proper way of ho
w to deal with it, i.e., whether one should use " }{TEXT 19 6 "P/J(Q)
" }{TEXT -1 42 " as an operator and square it, or whether " }{TEXT 19 
10 "P^2/J(Q)^2" }{TEXT -1 90 " can be carried out in sequence. In any \+
case, we do not have a multiplicative operator in " }{TEXT 19 1 "P" }
{TEXT -1 112 "-space for the kinetic energy. Meyer has included the po
ssibility of such a kinetic energy operator in his work." }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 202 "We are seeking a \+
matrix representation of the Hamiltonian which we will then diagonaliz
e. In order to avoid trouble with the periodic boundary conditions imp
lied in the Fourier method we discretize the " }{TEXT 19 6 "[-L,L]" }
{TEXT -1 126 " interval and look for anti-symmetric eigenfunctions. Th
e first reference provides some hints, but no details in this respect.
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "restart; with(LinearAlg
ebra): Digits:=14:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "n:=6;
 N:=2^n;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"nG\"\"'" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"NG\"#k" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 8 "dQ:=100;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dQG\"$+
\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "dP:=evalf(Pi/(N*dQ));
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dPG$\"/TB@&Q(3\\!#<" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "P_max:=N/2*dP;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%&P_maxG$\"/\\zEjzq:!#:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 96 "These parameter settings provide a rectangular area that \+
can be identified in the above diagram." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 
"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Perhaps we should first demonstrate
 how poorly the regular Fourier grid method does. In this case we choo
se:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "dq:=0.5;" }}{PARA 11 
"" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dqG$\"\"&!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 21 "dp:=evalf(Pi/(N*dq));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%#dpG$\"/\"oC/xu\")*!#:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 14 "p_max:=N/2*dp;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&p_maxG$\"
/)*e`EfTJ!#8" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Construct the ki
netic energy matrix in coordinate representation using the fact that i
t is diagonal in " }{TEXT 19 1 "p" }{TEXT -1 102 " space, i.e., by ins
erting plane-wave completeness relations approximated by their truncat
ed versions." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "TM:=Matrix(
N,N):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "L:=N*dq;" }}{PARA 
11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"LG$\"$?$!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 35 "BF:=(k,j)->sqrt(2/N)*sin(Pi*k*j/N);" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#BFGf*6$%\"kG%\"jG6\"6$%)operatorG%&arrowGF)*&
-%%sqrtG6#,$*&\"\"#\"\"\"%\"NG!\"\"F4F4-%$sinG6#**%#PiGF49$F49%F4F5F6F
4F)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "simplify(add(BF(
1,j)*BF(1,j),j=1..N));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"\"" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "simplify(add(BF(1,j)*BF(2,j)
,j=1..N));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "This serves as a check that the basis is orthon
ormal. Try some other values of " }{TEXT 19 1 "k" }{TEXT -1 11 " to ve
rify." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "
The kinetic energy matrix is easy to assemble now: we have a basis of \+
Kronecker deltas " }{TEXT 19 21 "<x_i|j> = KND(i,j)/dx" }{TEXT -1 75 "
. The Fourier series amplitudes of these functions are the basis funct
ions " }{TEXT 19 17 "<p_k|j> = BF(k,j)" }{TEXT -1 83 " for which we kn
ow the momentum eigenvalues, and therefore the kinetic energies as " }
{TEXT 19 14 "1/2*(Pi*k/L)^2" }{TEXT -1 61 ". One way to prove it is to
 differentiate the basis function " }{TEXT 19 7 "BF(k,j)" }{TEXT -1 
23 " twice with respect to " }{TEXT 19 1 "x" }{TEXT -1 17 " after repl
acing " }{TEXT 19 4 "j*dq" }{TEXT -1 4 " by " }{TEXT 19 1 "x" }{TEXT 
-1 28 ", which with the definition " }{TEXT 19 6 "L=N*dq" }{TEXT -1 
14 " brings out a " }{TEXT 19 11 "-(Pi*k/L)^2" }{TEXT -1 33 " factor, \+
and then to multiply by " }{TEXT 19 6 "(-1/2)" }{TEXT -1 17 " in atomi
c units." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "This is implemented below:" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 "for j from 1 to N do: for
 jp from 1 to N do: TM[jp,j]:=evalf(add(BF(k,j)*BF(k,jp)*(Pi*k/L)^2/2,
k=1..N)); od: od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "TM[1,1
],TM[1,2],TM[2,1];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$\"/g<!)etzb!#8$
!/ln!yabb$F%$!/nn!yabb$F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "It l
ooks like the matrix is symmetric, which shouldn't be a surprise." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 118 "Now let us add a potential matrix: fortu
nately we avoid the origin in our mesh and circumvent the Coulomb sing
ularity." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "for j from 1 to
 N do: TM[j,j]:=TM[j,j]-1/(j*dq); od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 20 "EV:=Eigenvalues(TM):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 12 "EV[1],EV[2];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$^$$\"
3j]g,;'e`!>!#;$\"\"!F(^$$\"3'*3Nyy>9V=F&F'" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 35 "EV0:=sort([seq(Re(EV[n]),n=1..N)]);" }}{PARA 12 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$EV0G7\\o$!3a?!ps$Hz=X!#=$!3gf#fIi#4(=\"F($!3+[w
g\"Hf&e`!#>$!3+++++++DJF-$!39g>'\\uyya#F-$\"3F@M]\\F?.x!#?$\"3q*>m,x\"
)**H&F-$\"3/c$eTg_e4\"F($\"39de.KXCp<F($\"3O;JUN%>ra#F($\"3MB,%o?QvU$F
($\"3(z$*G$3>=4WF($\"3_Dq%f676\\&F($\"3CP`Ga'REn'F($\"3gbd*41YK&zF($\"
3cxQ.RO`K$*F($\"33.2nH#>53\"!#<$\"3\"[FEGo(fQ7FK$\"31phI'4pfS\"FK$\"3k
<:;%f<Je\"FK$\"3]%>[%>-.q<FK$\"3ssz9>jpm>FK$\"3=Cbf$32J<#FK$\"3u)*=k(>
b#*Q#FK$\"3d!QFQdM^h#FK$\"3I@(zl9S2&GFK$\"3_m!pCrng4$FK$\"3Y7Uo0Q6^LFK
$\"3*>?q3gveh$FK$\"3U*[Bv$3N!*QFK$\"3#Q)Gshx`uTFK$\"3]a3/#3N%oWFK$\"3Q
txSP>/sZFK$\"3GZbFvyN&3&FK$\"3#))=f!RGQ3aFK$\"3HY>;kr6TdFK$\"3s5_U#ehN
3'FK$\"3Z!zd]B<dV'FK$\"3]yMo%p&e(z'FK$\"3!)p4M(**o\"prFK$\"3Ia#egop/b(
FK$\"3hR-!z'3\\TzFK$\"3l@&GwGOAM)FK$\"35K'R;U5Fv)FK$\"3]AG*zf=H<*FK$\"
3Rvw]\\r'Gg*FK$\"3-t=4hjD/5!#;$\"3+;>Q(p,#\\5Fbq$\"3YMf7-Q7&4\"Fbq$\"3
@'Qmq(R-U6Fbq$\"3!H&R=2Q!**=\"Fbq$\"3Vih\\U_wQ7Fbq$\"371e%Gr5')G\"Fbq$
\"3SM%>?HV%R8Fbq$\"3sQJTSpE\"R\"Fbq$\"3IM:lto3W9Fbq$\"3![;)))[,\"z\\\"
Fbq$\"3?iT9Omu_:Fbq$\"3w'[,+u5'3;Fbq$\"31'HdDmCbm\"Fbq$\"3(zOyzJDNs\"F
bq$\"3IWn$[)4o#y\"Fbq$\"3'*3Nyy>9V=Fbq$\"3j]g,;'e`!>Fbq" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "This method results in not so good eigenv
alues when compared to " }{TEXT 19 8 "-0.5/n^2" }{TEXT -1 116 ". They \+
look like upper bounds, but seem to reflect a  bad coverage of the cla
ssically accessible phase space region." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 
"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 261 11 "Exercise 1:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 31 "Choose different values of the " }{TEXT 19 2 "dq" }{TEXT 
-1 175 " spacing and observe the dependence of the low-lying eigenvalu
es (the lowest bound states). Then increase the number of points and r
ecord the improvement for given choices of " }{TEXT 19 2 "dq" }{TEXT 
-1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
32 "How do we implement the idea in " }{TEXT 19 2 "PQ" }{TEXT -1 30 " \+
space? The momentum operator " }{TEXT 19 1 "P" }{TEXT -1 12 " is given
 as" }{TEXT 19 17 " -I*1/J(Q) * d/dQ" }{TEXT -1 40 ", which means that
 we have to implement " }{TEXT 19 26 "-0.5/J(Q)*d/dQ 1/J(Q) d/dQ" }
{TEXT -1 380 " as kinetic energy operator. We will follow two approach
es: first, we implement this directly; then we follow an idea implemen
ted by Kokoouline et al to construct a symmetric matrix after transfor
ming the wavefunction. The second method appears to be somewhat less e
fficient than the first one, although some savings can be obtained fro
m using a simplified matrix diagonalization." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "re
start; with(LinearAlgebra): Digits:=14:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 6 "N:=20;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"NG\"#?" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "dx:=evalf(Pi/(N+1));" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dxG$\"/%4<]'*f\\\"!#9" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "We supplement the Kosloff mapping with a \+
scale transfo (using the parameter " }{TEXT 19 2 "s0" }{TEXT -1 27 ") \+
to map from the interval " }{TEXT 19 7 "(0,Pi) " }{TEXT -1 4 "for " }
{TEXT 19 1 "x" }{TEXT -1 8 " into a " }{TEXT 19 1 "Q" }{TEXT -1 18 " r
ange, then into " }{TEXT 19 1 "r" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "accor
ding to  " }{TEXT 19 28 "r = s0*x-A*arctan(beta*s0*x)" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "We need to assemble si
ne-sine and sine-cosine matrices with " }{TEXT 19 3 "k^2" }{TEXT -1 5 
" and " }{TEXT 19 1 "k" }{TEXT -1 139 " factors respectively. This fol
lows from the observation that the kinetic energy operator now has bot
h first and second derivatives, i.e., " }{TEXT 19 4 "d/dQ" }{TEXT -1 
5 " and " }{TEXT 19 8 "d^2/dQ^2" }{TEXT -1 73 ". The first derivative \+
turns the sine-basis function into a cosine times " }{TEXT 19 1 "k" }
{TEXT -1 108 ". We pre-assemble the matrices, and then we can use them
 for calculations with differently scaled variables." }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "CSM:=Matrix(N,N): SSM:=Matrix(N,N):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "We do not include the " }{TEXT 19 
2 "- " }{TEXT -1 22 "sign, because we want " }{TEXT 19 4 "-1/2" }
{TEXT -1 70 " times the second derivative anyway, and therefore we ski
p the factor " }{TEXT 19 1 "2" }{TEXT -1 163 " as well! Rather than de
fining the basis function as done in the previous section we work with
 sines and incorporate the normalization by correcting the sums by a \+
" }{TEXT 19 7 "2/(N+1)" }{TEXT -1 8 " factor." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 182 "for i from 1 to N do: for j from 1 to N do: SSM
[i,j]:=evalf(1/(N+1)*add(k^2*sin(k*j*dx)*sin(k*i*dx),k=1..N)):  CSM[i,
j]:=evalf(1/(N+1)*add(k*sin(k*j*dx)*cos(k*i*dx),k=1..N)): od: od:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "CSM[2,1],CSM[2,2],CSM[1,2];
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$!/g,$f'pSA!#8$!/LUR4![5)!#9$\"/Ky
E(R8V%F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "SSM[2,1],SSM[2,
2],SSM[1,2];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$!/%>88:<(R!#7$\"/HES@
eqqF%$!/&>88:<(RF%" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "The latter
 matrix is no longer symmetric. This can pose a problem for efficiency
 in matrix diagonalization." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "From thes
e pre-computed matrices we can assemble the Hamiltonian matrix followi
ng a choice of parameters." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "r:=x->s0*x-A*arctan(beta*s0*x);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"rGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrow
GF(,&*&%#s0G\"\"\"9$F/F/*&%\"AGF/-%'arctanG6#*(%%betaGF/F.F/F0F/F/!\"
\"F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "J:=D(r);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"JGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrow
GF(,&%#s0G\"\"\"**%\"AGF.%%betaGF.F-F.,&F.F.*()F1\"\"#F.)F-F5F.)9$F5F.
F.!\"\"F9F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "Jp:=D(J);
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#JpGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&a
rrowGF(,$*.\"\"#\"\"\"%\"AGF/%%betaG\"\"$%#s0GF2,&F/F/*()F1F.F/)F3F.F/
)9$F.F/F/!\"#F9F/F/F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "We i
nclude the possibility of non-zero angular momentum, i.e., we define a
 centrifugal potential." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "
L:=0; Vcf:=x->L*(L+1)/2/r(x)^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%
\"LG\"\"!" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$VcfGf*6#%\"xG6\"6$%)op
eratorG%&arrowGF(,$*&#\"\"\"\"\"#F/*(%\"LGF/,&F2F/F/F/F/-%\"rG6#9$!\"#
F/F/F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "A:=3999.9: be
ta:=0.00025:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "In order to map t
he " }{TEXT 19 6 "(0,Pi)" }{TEXT -1 21 " interval to a large " }{TEXT 
19 1 "Q" }{TEXT -1 99 " range (as is required according to the graph i
n the first section) we choose a large scale factor " }{TEXT 19 2 "s0
" }{TEXT -1 1 ":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "s0:=500;
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#s0G\"$+&" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "HM:=Matrix(N,N):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 48 "Note that the Jacobian factors that follow from " }{TEXT 
19 6 "1/J(Q)" }{TEXT -1 158 " and simply multiply the derivative matri
ces that are computed in momentum representation (or in trig represent
ation). The differential operator is given for " }{TEXT 19 11 "F(Q)=1/
J(Q)" }{TEXT -1 4 " as " }{TEXT 19 33 "F(Q)*F'(Q)*d/dQ - F(Q)^2*d^2/dQ
^2" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 170 "for \+
i from 1 to N do: f1:=Jp(i*dx): f2:=1/J(i*dx): for j from 1 to N do: H
M[i,j]:=(CSM[i,j]*f1*f2 + SSM[i,j])*f2^2:  od: HM[i,i]:=HM[i,i]+evalf(
-1/r(i*dx)+Vcf(i*dx)): od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
20 "EV:=Eigenvalues(HM);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#EVG-%'R
TABLEG6*\")KDo=&%(complexG6#\"\")&%'VectorG6#%'columnG%,rectangularG%.
Fortran_orderG7\"\"\"\";F4\"#?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 6 "EV[1];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#^$$\"38y#*e+PeN5!#9$
\"\"!F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "convert(EV,list)
;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#76^$$\"38y#*e+PeN5!#9$\"\"!F)^$$
\"3#ot:4g(*R'=!#:F(^$$\"3())G8h9m,]\"!#;F(^$$\"3=mxu4m42k!#<F(^$$\"3XL
K)pAo(G:F5F(^$$\"3oJ)=U_=***))!#=F(^$$!3/Ucxh6T**\\F<F(^$$\"3\"y1gq_ig
6$F<F(^$$\"3u,[*3oZW1#F<F(^$$!3CV,:Sc#*\\7F<F(^$$\"3/8(f\"*=<-P*!#>F(^
$$\"3)=(ph`g!3G'FLF(^$$!3M#)QkT[LbbFLF(^$$\"3Q[0wz:CBMFLF(^$$\"3W[N<z
\"y1)=FLF(^$$!3-Syk%Q0\\7$FLF(^$$\"3W^`\\,eE$e&!#?F(^$$!3UDed8o(>#\\Fi
nF(^$$!3Y(zU'R9l(*>FLF(^$$!3mQ?*3tqXH\"FLF(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 21 "EVs:=sort(map(Re,%));" }}{PARA 12 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%$EVsG76$!3/Ucxh6T**\\!#=$!3CV,:Sc#*\\7F($!3M#)QkT[Lbb
!#>$!3-Syk%Q0\\7$F-$!3Y(zU'R9l(*>F-$!3mQ?*3tqXH\"F-$!3UDed8o(>#\\!#?$
\"3W^`\\,eE$e&F6$\"3W[N<z\"y1)=F-$\"3Q[0wz:CBMF-$\"3)=(ph`g!3G'F-$\"3/
8(f\"*=<-P*F-$\"3u,[*3oZW1#F($\"3\"y1gq_ig6$F($\"3oJ)=U_=***))F($\"3XL
K)pAo(G:!#<$\"3=mxu4m42kFI$\"3())G8h9m,]\"!#;$\"3#ot:4g(*R'=!#:$\"38y#
*e+PeN5!#9" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "We have excellent r
esults for a number of eigenenergies!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 262 11 "Exercise 2:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 89 "Explore the error (absolute and relative) of the lowest 1
0 eigenvalues by comparing with " }{TEXT 19 8 "-0.5/n^2" }{TEXT -1 57 
". Then increase the angular momentum quantum number from " }{TEXT 19 
3 "L=0" }{TEXT -1 85 " to non-zero calues and observe how it agrees (n
ote that the spectrum then starts at " }{TEXT 19 3 "n=L" }{TEXT -1 2 "
)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 165 "The next question concerns the eigenvectors. We need to sort t
he spectrum, i.e., put the eigenvectors as computed in Maple in an ord
er that corresponds to the order " }{TEXT 19 10 "n=1,2,3..." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "VE:=Eigenvectors(HM,output='
list'):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "Vp:=[seq([Re(VE[
i][1]),VE[i][2],map(Re,VE[i][3])],i=1..nops(VE))]:" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 344 "Min:=proc(x,y); if type(x,numeric) and typ
e(y,numeric) then if x<=y then RETURN(true): else RETURN(false): fi; e
lif type(x,list) and type(y,list) and type(x[1],numeric) and type(y[1]
,numeric) then if x[1]<=y[1] then RETURN(true): else RETURN(false): fi
; elif convert(x,string)<=convert(y,string) then RETURN(true): else RE
TURN(false): fi: end:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "
VEs:=sort(Vp,Min):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "n_s
el:=2; VEs[n_sel];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&n_selG\"\"#" 
}}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7%$!3CV,:Sc#*\\7!#=\"\"\"-%'RTABLEG6
*\")c:,>%)anythingG&%'VectorG6#%'columnG%,rectangularG%.Fortran_orderG
7\"F';F'\"#?" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Let us look at th
e eigenvector as a function of the radial coordinate " }{TEXT 19 7 "r(
i*dx)" }{TEXT -1 1 ":" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "pl
ot([seq([r(i*dx),VEs[n_sel][3][i]],i=1..N)]);" }}{PARA 13 "" 1 "" 
{GLPLOT2D 802 354 354 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$767$$\"33++5*\\#oe5!#
>$\"3&)*Q\\et#=U&*!#?7$$\"3Y+++.y2VtF*$\"3%=wv+!GKIiF*7$$\"3$*****>!Q-
dS#!#=$\"3O(*eiRJ=:<F67$$\"3_*****yp$3OcF6$\"3=qL<_cq\"z#F67$$\"35++4$
=,N4\"!#<$\"3mWj(eEgIi#F67$$\"3)****4zE_.)=FA$\"32Taib?KBSF*7$$\"3')**
*R1B;K(HFA$!3[ykZwpW!*HF67$$\"3h***zAp7*>WFA$!3-Dq0h]Wj`F67$$\"3%)***R
@^_oE'FA$!3fP\\Z10fD`F67$$\"3Y***pAox)e&)FA$!3colF5'=Xb$F67$$\"3'***fV
4;\"R8\"!#;$!3]LZL\")[/q;F67$$\"3))**4y7_)[Y\"Fjn$!3;o5gAo1&e&F*7$$\"3
#)**p*[PTF&=Fjn$!3z!QeC2>uK\"F*7$$\"3)****f]l27I#Fjn$!3XJ+srkXEAF-7$$
\"3*****f2\\)z8GFjn$!3^ha(Hn^0h#!#@7$$\"3=++^=!4QR$Fjn$!3BF)3H:.k6#!#A
7$$\"3t***>2d5V/%Fjn$!3m(*o-'zW(y6!#B7$$\"3M++R*zZ\"oZFjn$!3T=VKQ3z5T!
#D7$$\"3#*****3ft$zc&Fjn$!318g!Q&Rk!G$!#E7$$\"3K++(f1ogW'Fjn$\"3jhVs)[
Qdj\"Fiq-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$\"\"!FgrFfr-%+AXESLABELSG6$Q!6\"F
[s-%%VIEWG6$%(DEFAULTGF`s" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 
45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "How ca
n we interpolate the functions? This is accomplished using the " }
{TEXT 19 4 "sinc" }{TEXT -1 43 " function according to the Shannon the
orem." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "sinc:=x->sin(x)/x;
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%sincGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%
&arrowGF(*&-%$sinG6#9$\"\"\"F0!\"\"F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 60 "fE:=n->evalf(add(VEs[n][3][i]*sinc(Pi/dx*(x-i*dx)),
i=1..N));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#fEGf*6#%\"nG6\"6$%)ope
ratorG%&arrowGF(-%&evalfG6#-%$addG6$*&&&&%$VEsG6#9$6#\"\"$6#%\"iG\"\"
\"-%%sincG6#*(%#PiGF=%#dxG!\"\",&%\"xGF=*&F<F=FCF=FDF=F=/F<;F=%\"NGF(F
(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "We display the lowest five
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\"3I&e['Q?-XnFa\\l$\"3'ex!>5+PoCF07$Fccl$\"3a&Hn%*Goxk)F97$Fhcl$\"3'Hb
g*)3KNl\"F]\\l-F^dl6&F`dlFadlF(Fadl-%+AXESLABELSG6$Q!6\"Ffdr-%%VIEWG6$
;F($\"#IF);F($\"\"&!\"\"" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 
45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" "Curve 3" "Curve 4" "Curve 5" }}}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "Evidently the orbitals are not no
rmalized consistently. The area under the curves was consistent from o
rbital to orbital when looked at as a function of " }{TEXT 19 1 "x" }
{TEXT -1 38 ", but clearly not so as a function of " }{TEXT 19 1 "r" }
{TEXT -1 98 ". Thus, we need to compute normalization constants if we \+
wish to compare with the exact functions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "The constants can be calculated by
 summing over " }{TEXT 19 1 "x" }{TEXT -1 112 ", but the Jacobian has \+
to be included. In this way the r-integral is reduced to an integral o
ver x according to " }{TEXT 19 9 "dr=J(x)dx" }{TEXT -1 1 "." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "Dx:=evalf(Pi/31): Nc:=evalf(
Dx*add(subs(x=i*Dx,fE(1)^2*J(x)),i=1..30));" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#NcG$\"/h>.q.xk!#9" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 75 "P1:=plot([r(x),-1/sqrt(Nc)*fE(1),x=0..3.14],color=red
,view=[0..10,0..0.8]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "i
nt(4*r^2*exp(-2*r),r=0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#
\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "P1e:=plot(2*r*exp
(-r),r=0..10,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
23 "plots[display](P1,P1e);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 1040 428 
428 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6$7`o7$$\"\"!F)$!3c#y*\\xFq'f\"!#J7$$\"3?
%*yc*HC/p\"!#?$\"3-Co.bSfnKF07$$\"3e'>3r'plfqF0$\"39)\\8qX7xR\"!#>7$$
\"3MwZ\")*>iH<#F8$\"3z'QC5v2dB%F87$$\"3smfff%3$)R$F8$\"3/.R=]_9]lF87$$
\"3!\\(p*puf*G]F8$\"3[r9jl@b[&*F87$$\"3\"yK8U/oK6(F8$\"3m%yN7c'3C8!#=7
$$\"3;Qt1#\\Slr*F8$\"39)\\GgI+Kw\"FM7$$\"3+a9?HvYk7FM$\"3lS9ZU!>(GAFM7
$$\"3!GjX>3j:h\"FM$\"3*yV&yTFWVFFM7$$\"3X\\gjw)3J.#FM$\"3d[5\")QKl<LFM
7$$\"3Unda*ykH_#FM$\"3l)\\\\kJ$e>RFM7$$\"3_BMVA8)o5$FM$\"37l<xYne_XFM7
$$\"3o'3+P?&*\\x$FM$\"3AwYqhu;u^FM7$$\"3wME#4)>OIXFM$\"3_(f#eP=DedFM7$
$\"33qkf\"G]0Q&FM$\"31ZN>SLB#G'FM7$$\"3qOs+EX%)fjFM$\"3%HN6'4BoLnFM7$$
\"3A.L[YPM^uFM$\"3y*G?8*)GS2(FM7$$\"3!=64]yR/^)FM$\"3S`Ox8([wE(FM7$$\"
33>KR;iIl'*FM$\"3?7)*))[uY`tFM7$$\"3S3+gym]36!#<$\"3D#H9Y6CqJ(FM7$$\"3
)>yvL<6PE\"F\\r$\"3QE&zu(Q-UrFM7$$\"3\\t.)\\<TMV\"F\\r$\"3-eT'e'RaOoFM
7$$\"33V&pj5lwh\"F\\r$\"3iHo<'RHtT'FM7$$\"3@7^]q/X4=F\\r$\"3j?_ft)**e#
fFM7$$\"3]V)[t.Ud,#F\\r$\"3u&QYE!eYr`FM7$$\"3=D!))zxpg@#F\\r$\"30UMj,l
jL[FM7$$\"3$*y?By(e\"HCF\\r$\"3yfmZnVw\"G%FM7$$\"3!pO7A'Gn*p#F\\r$\"3!
pWQ()*zpIOFM7$$\"3mNynQRR*)HF\\r$\"3!o;`f_`)3IFM7$$\"3/A**R,xJ]KF\\r$
\"3'GB'\\C]))>DFM7$$\"3Xl+s%=_e_$F\\r$\"3SBCz#G&*\\2#FM7$$\"39;smQaClQ
F\\r$\"3^P%RSX\\+i\"FM7$$\"3\"4n0U@/bA%F\\r$\"3I9[$zy'\\N7FM7$$\"3Sg]C
q5FiXF\\r$\"3MqX(zRk%G&*F87$$\"3&=*4j<WC;\\F\\r$\"3oV'yUd])4sF87$$\"3%
>H()4iC_v&F\\r$\"3?-M?1D,\\OF87$$\"3u!*4G$>tc='F\\r$\"3#ybL(=RX[DF87$$
\"3li>fXNsOmF\\r$\"3PyC4wX-R<F87$$\"3s_dY&z%yHrF\\r$\"3rc6QV#>&Q6F87$$
\"3o!=8&4\"[ik(F\\r$\"3o\"ed[LqDF(F07$$\"3OT&\\Ceb:9)F\\r$\"3k%[#zA]WB
ZF07$$\"3=0g1PzQd')F\\r$\"3wBmUz3b;IF07$$\"3)*3j^e>$=%)*F\\r$\"3EE[&pR
^d3\"F07$$\"37do'fg1z6\"!#;$\"3')y&y2jc\\=$!#@7$$\"3&o4Qay&\\V7Fey$\"3
Z:WX0>+Fn!#A7$$\"3#*)GxKB_!*Q\"Fey$\"3y!>J#pU()GV!#B7$$\"3YG**zZcd]:Fe
y$\"3IWE7bV(**z#F^z7$$\"3,lWt1,*)><Fey$\"3m,jX-ZA`GF^z7$$\"3#ebH#)pXY*
=Fey$!3Uyu#32d+M*Fdz7$$\"3uYV'QuE;5#Fey$!3se>o$[)*3#HF^z7$$\"3o\"*R1h
\\_*H#Fey$!3DO6eZ^(G9$!#C7$$\"3/dl'z*ReBDFey$\"3!o_wuI:!*y#F^z7$$\"3=9
F%*G<DQFFey$\"3s9zV3H>n6F^z7$$\"3QCn2+c(e)HFey$!3SU'Gs)o70AF^z7$$\"3hI
\")\\srXJKFey$!3P%Gd.cc/%>F^z7$$\"3y_l0;?Y,NFey$\"3#4Q$>W;A68F^z7$$\"3
'G8=`%p#)yPFey$\"3.*[$e*)[*GL#F^z7$$\"3Me+<Mgj$3%Fey$!3IbNb:v&\\G%Fdz7
$$\"3=&)\\vkiR\"R%Fey$!3%=0!RN#3FM#F^z7$$\"3d%\\/Cjg2s%Fey$!3'\\dygy!o
bWFdz7$$\"3K()3PCZBi]Fey$\"3;!=3,/SH2#F^z7$$\"37B=/@JA*Q&Fey$\"3m$e]5-
duO\"F^z7$$\"3stZB0qvzdFey$!3#R]i1QWk]\"F^z7$$\"310^6m<]VhFey$!3=p]X\\
077=F^z7$$\"3yx;F=$Qla'Fey$\"3;ect(erP&oFdz7$$\"3#zfZ*G.;ZpFey$\"3wwG,
!)z+!*>F^z7$$\"3Al$f]ylSR(Fey$\"3g?(G:*)Hta'F^\\l-%'COLOURG6&%$RGBG$\"
*++++\"!\")F(F(-F$6$7_o7$F(F(7$$\"3ALL$3FWYs#F8$\"3@js:e#>GI&F87$$\"3W
mmmT&)G\\aF8$\"3]/E)HPd?.\"FM7$$\"3m****\\7G$R<)F8$\"3BmE9jcZ1:FM7$$\"
3GLLL3x&)*3\"FM$\"3kBaQG\\ka>FM7$$\"3YmmTN@Ki8FM$\"3w*4X^\\LwP#FM7$$\"
3$*****\\ilyM;FM$\"3Oz6YB7ZwFFM7$$\"3RLLe*)4D2>FM$\"3KA?+.3:_JFM7$$\"3
emmm;arz@FM$\"34k#3s+Hc]$FM7$$\"3;L$e*)4bQl#FM$\"3-w(e'4t`qSFM7$$\"3v*
**\\7y%*z7$FM$\"3kp%p$Q#4cd%FM7$$\"3Lm;ajW8-OFM$\"3CF)ys:v^-&FM7$$\"3[
LL$e9ui2%FM$\"3ko$>fo#HBaFM7$$\"3z***\\(oMrU^FM$\"37tF<;$G+:'FM7$$\"3n
mmm\"z_\"4iFM$\"3ib&et\"oCumFM7$$\"3Unmmm6m#G(FM$\"3^FdFP2MJqFM7$$\"39
ommT&phN)FM$\"3k+^\"HE&eYsFM7$$\"37M$3-js.*))FM$\"3y:B'QR)z3tFM7$$\"3A
,+v=ddC%*FM$\"3d_&[:LI\\M(FM7$$\"3wM3-jsn\"p*FM$\"3)43;E$*=SN(FM7$$\"3
?n;H2)y(e**FM$\"3S'H&zTh_dtFM7$$\"3'*\\i:N!)eA5F\\r$\"31yzXe)RdN(FM7$$
\"3KLLe*=)H\\5F\\r$\"3[,#3JoO*[tFM7$$\"3-++v=JN[6F\\r$\"33c&pnx-UG(FM7
$$\"3smm\"z/3uC\"F\\r$\"3302*)*[=j;(FM7$$\"3!****\\7LRDX\"F\\r$\"3/K_^
!>prz'FM7$$\"3%om;zR'ok;F\\r$\"3e,q@Xz$3I'FM7$$\"33++D1J:w=F\\r$\"3Qa=
p(R;xu&FM7$$\"3oLLL3En$4#F\\r$\"3yaG9^5Ag^FM7$$\"3#pmmT!RE&G#F\\r$\"3S
`rY#R%Q]YFM7$$\"3D+++D.&4]#F\\r$\"3y\"z%=z+\">5%FM7$$\"3;+++vB_<FF\\r$
\"39Q+[wS?*e$FM7$$\"33+++v'Hi#HF\\r$\"3D+y^2Y%o8$FM7$$\"3&om;z*ev:JF\\
r$\"35M+C)HiLw#FM7$$\"3_LLL347TLF\\r$\"3ec,P-/LlBFM7$$\"3nLLLLY.KNF\\r
$\"3))=65.>\"f1#FM7$$\"33++D\"o7Tv$F\\r$\"3cz<sT#=&e<FM7$$\"3?LLL$Q*o]
RF\\r$\"3acoJg%Q._\"FM7$$\"3m++D\"=lj;%F\\r$\"3%zn;A'QG#H\"FM7$$\"3S++
vV&R<P%F\\r$\"3:E[zMgB/6FM7$$\"3CML$e9Ege%F\\r$\"3[TGNeRL\\$*F87$$\"3]
LLeR\"3Gy%F\\r$\"3-8R3#4p(3!)F87$$\"3emm;/T1&*\\F\\r$\"3_+$oQa-Yw'F87$
$\"3=nm\"zRQb@&F\\r$\"3G/U1*4[cm&F87$$\"3:++v=>Y2aF\\r$\"316T*epM$[[F8
7$$\"3Znm;zXu9cF\\r$\"3e'p)z\"=M<4%F87$$\"34+++]y))GeF\\r$\"3OR[nNc&*G
MF87$$\"3H++]i_QQgF\\r$\"3?I\"zX.-3)GF87$$\"3b++D\"y%3TiF\\r$\"3C?NRqR
?JCF87$$\"3+++]P![hY'F\\r$\"3\\!>wP*oB6?F87$$\"3iKLL$Qx$omF\\r$\"3#\\r
sxSzVp\"F87$$\"3Y+++v.I%)oF\\r$\"3t%))f?!f`49F87$$\"3?mm\"zpe*zqF\\r$
\"3C=p[bI*>>\"F87$$\"3;,++D\\'QH(F\\r$\"3n?CXk:A:**F07$$\"3%HL$e9S8&\\
(F\\r$\"3RvU=\"eC8L)F07$$\"3s++D1#=bq(F\\r$\"3M`:3dK8SpF07$$\"3\"HLL$3
s?6zF\\r$\"3gbXaEGo+eF07$$\"3a***\\7`Wl7)F\\r$\"3AwM'*p`@/[F07$$\"3enm
mm*RRL)F\\r$\"3&3H&yj)>S+%F07$$\"3%zmmTvJga)F\\r$\"3hJT24&Q7K$F07$$\"3
]MLe9tOc()F\\r$\"33_(3JRxuv#F07$$\"31,++]Qk\\*)F\\r$\"3@\\_%G&*HIK#F07
$$\"3![LL3dg6<*F\\r$\"3\")[9_cL_2>F07$$\"3%ymmmw(Gp$*F\\r$\"3'*ebUcxZ)
f\"F07$$\"3C++D\"oK0e*F\\r$\"3xR)R\\1mKK\"F07$$\"35,+v=5s#y*F\\r$\"3`6
DwCX%Q5\"F07$$\"#5F)$\"3%*op\\_f)*z!*Fhy-F`al6&FbalF(F(Fcal-%+AXESLABE
LSG6%Q!6\"Fifm-%%FONTG6#%(DEFAULTG-%%VIEWG6$;F(F`fm;F($\"\")!\"\"" 1 
2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve
 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "It is hard to distinguish \+
the two, so we can graph the relative error:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "plot([r(x),2*r(x)*exp(-r(x))+1/sqrt(Nc)*fE(1),x=
0..3.14],color=red,view=[0..10,-0.0002..0.0002]);" }}{PARA 13 "" 1 "" 
{GLPLOT2D 946 386 386 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6#7[[l7$$\"\"!F)$\"3c#y
*\\xFq'f\"!#J7$$\"3wrWRs^5wE!#A$\"3-2(3W6@.m#F07$$\"33(e+@B)\\n`F0$\"3
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3+Vu-/G&ez\"F@7$$\"39l&3K#[Y&Q(F@$\"3%4*3kG)=[r\"F@7$$\"3_+.6N-yQ**F@$
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t/#F07$$\"33>KR;iIl'*F`y$!3G'z=d5&Rs#*Fcy7$$\"3@N+#=2,f.\"!#<$\"3#y]sc
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F07$$\"3?:DK*Q0P_\"F`el$\"3'GVCJCtP!\\F07$$\"33V&pj5lwh\"F`el$\"325IB%
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$\"3'G/\\\">s(Hp$F`el$\"33;t<WC%yA\"F07$$\"3'HF#=XQYyPF`el$\"3%[wUH_C5
9\"F07$$\"39;smQaClQF`el$\"3=5\\VB#**e'*)Fcy7$$\"3i&G)[3,tUSF`el$!3;?p
RsP!RH&!#D7$$\"3\"4n0U@/bA%F`el$!3@SFX%*pk:8F07$$\"3Sg]Cq5FiXF`el$!3yG
HblV+qRF07$$\"3&=*4j<WC;\\F`el$!3)ym'oD]M%)fF07$$\"33qG)y^&R;]F`el$!3w
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$$\"3u\\B)[%z9*>#Fihm$\"3SX-u)[(Q`=F07$$\"3o\"*R1h\\_*H#Fihm$\"3w<myrZ
H!>$F_^m7$$\"3.^ql$G)))4CFihm$!3!Hcau.#[\\=F07$$\"3/dl'z*ReBDFihm$!3!z
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!3GT*zx)\\!pw#F07$$\"3J6U)GjuFg#Fihm$!3c;zk>y:[EF07$$\"3>Y9</'>&HEFihm
$!3%z]4[zE<Y#F07$$\"3WN&p,MMNo#Fihm$!3T#>H;2)\\3>F07$$\"3=9F%*G<DQFFih
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(e)HFihm$\"3T<y\"3`F^?#F07$$\"3;2pOD3!f,$Fihm$\"3:kJ)>6!H:CF07$$\"3%QI
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37$)e&oDr5$Fihm$\"3#>dGbn@*GEF07$$\"3r\\M%[,)\\AJFihm$\"3\"HI=5dm9g#F0
7$$\"3`V)pza=z8$Fihm$\"3OlNdQHCcDF07$$\"3qHgDTtQ`JFihm$\"3'zD32s>O\\#F
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AF07$$\"3hI\")\\srXJKFihm$\"3yWV6?mXS>F07$$\"3!Q)[c-WukLFihm$\"3R(\\:2
I]d!QFcy7$$\"3y_l0;?Y,NFihm$!3b+?%)R;A68F07$$\"3a$>(QhJbpNFihm$!3!Hplx
(*oP%>F07$$\"3!Q&)prGv%QOFihm$!3-%*=Va'R#[BF07$$\"3gj1o%3Oel$Fihm$!3UI
]wk)R!3CF07$$\"3mwiW,\"\\Kn$Fihm$!3#3,#fz?Q]CF07$$\"3eF)pOR92p$Fihm$!3
c,`nW*=]Z#F07$$\"3)>&QV<?B3PFihm$!3]x0Ot1$=[#F07$$\"3z\"3+(G?!es$Fihm$
!3)QrEc\\D3Z#F07$$\"3d8&4L[CMu$Fihm$!3HsxL!>R@W#F07$$\"3%HO#)pV*4hPFih
m$!3_h'HpqLgR#F07$$\"3'G8=`%p#)yPFihm$!3w?.H*)[*GL#F07$$\"3/-U=;-PHRFi
hm$!3)fw!\\%e3;B\"F07$$\"3Me+<Mgj$3%Fihm$\"3eUSq:v&\\G%Fcy7$$\"3_tdo,:
EfTFihm$\"3oy\"4z=w')=\"F07$$\"35;dsk5wNUFihm$\"3r^@IS7r-=F07$$\"3'\\H
fHrRVF%Fihm$\"3?QDsj!*\\K?F07$$\"3w-59y\"QJJ%Fihm$\"3%\\3'*f21=?#F07$$
\"3d\\obv*>EL%Fihm$\"3e`\"3N\"[GiAF07$$\"3+^G7()o:_VFihm$\"3AO/-(3'31B
F07$$\"3wqE)e'*[<P%Fihm$\"3GMk\"[%=%HL#F07$$\"3=&)\\vkiR\"R%Fihm$\"3?>
4RN#3FM#F07$$\"3yI\")\\Ica6WFihm$\"3i&Qkx^-]L#F07$$\"3)=qiq&GvJWFihm$
\"3lX;dN)>&4BF07$$\"3#)\\$Q1+=?X%Fihm$\"3U\\,$zm4lE#F07$$\"3opyF<6MsWF
ihm$\"3ikfBwTN1AF07$$\"3OZaF$\\hJ^%Fihm$\"3<'o&p&Qyn.#F07$$\"3kW9uIW@a
XFihm$\"3ClSj/KN1=F07$$\"3T\"\\y=w>qj%Fihm$\"3]QH-Wf-%>\"F07$$\"3d%\\/
Cjg2s%Fihm$\"3!=zygy!obWFcy7$$\"3az!)3<sj*)[Fihm$!3'H-$*)4ulx5F07$$\"3
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@]bo!*yU^Fihm$!3t8/>w\\#f@#F07$$\"3sJoHW:0j^Fihm$!3s)>)*>sRn@#F07$$\"3
S%evRljL=&Fihm$!3$f=>\\\"Q^.AF07$$\"3ucgXOas._Fihm$!3'z;`zxoj<#F07$$\"
3&H040$p8C_Fihm$!3'\\H#GeQ^N@F07$$\"3lSUd%z!G1`Fihm$!3%4XU\"e$[@%=F07$
$\"37B=/@JA*Q&Fihm$!3m$e]5-duO\"F07$$\"316bzr:P#e&Fihm$\"3Wt*f\\sF`;\"
Fcy7$$\"3stZB0qvzdFihm$\"3#R]i1QWk]\"F07$$\"3RkhDraZCeFihm$\"3W'o`CeIs
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f\">8M-#F07$$\"3Y?@_(\\8*ffFihm$\"3#)Rec%*HZ\"4#F07$$\"3\"G!y0u!)[0gFi
hm$\"3rUTcysm.@F07$$\"3QB5*GWx70'Fihm$\"3Q,'z%[f'*f?F07$$\"3yo))f1>G(4
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F+UXKXmFihm$!35%*pv>dfq7F07$$\"3I&e['Q?-XnFihm$!3)H3--'Gk5<F07$$\"3KL$
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-`Y6@G'*oFihm$!3quHke!3A+#F07$$\"3#zfZ*G.;ZpFihm$!3wwG,!)z+!*>F07$$\"3
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$\"3$HZF#4<v7rFihm$!3yi^K_lg*e\"F07$$\"35Z\\^\\2[orFihm$!3WV1EO![)[8F0
7$$\"3UANR,)Q2G(Fihm$!3>aGp*=AQ^(Fcy7$$\"3Al$f]ylSR(Fihm$!3g?(G:*)Hta'
F_^m-%+AXESLABELSG6$Q!6\"Fj[p-%'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F(F(-%%VI
EWG6$;F($\"#5F);$!\"#!\"%$\"\"#F\\]p" 1 2 0 1 10 0 2 6 1 4 2 1.000000 
45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
263 11 "Exercise 3:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 246 "Investigate the r
elative error for other low-lying eigenstates. You will need to define
 the radial functions for these states. Investigate how a change in th
e scale parameter s0 affects the accuracy of individual eigenenergies \+
and eigenfunctions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 166 "Next we implement a method to obtain a symmetr
ic Hamiltonian matrix as presented in the work of Kokoouline et al. Th
e first steps are similar to the previous section:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "restart; wi
th(LinearAlgebra): Digits:=14:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 6 "N:=20;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"NG\"#?" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "dx:=evalf(Pi/(N+1));" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dxG$\"/%4<]'*f\\\"!#9" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "We need only a second-derivative matrix:
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "SSM:=Matrix(N,N):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 118 "for i from 1 to N do: for j
 from 1 to N do: SSM[i,j]:=evalf(1/(N+1)*add(k^2*sin(k*j*dx)*sin(k*i*d
x),k=1..N)):  od: od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "SS
M[2,1],SSM[2,2],SSM[1,2];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$!/%>88:<
(R!#7$\"/HES@eqqF%$!/&>88:<(RF%" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
53 "This matrix is symmetric. We avoid first derivatives." }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 43 "The scale transformation is used as before:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "r:=x->s0*x-A*arctan(beta*s0*
x);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"rGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG
%&arrowGF(,&*&%#s0G\"\"\"9$F/F/*&%\"AGF/-%'arctanG6#*(%%betaGF/F.F/F0F
/F/!\"\"F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "J:=D(r);" 
}}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"JGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arr
owGF(,&%#s0G\"\"\"**%\"AGF.%%betaGF.F-F.,&F.F.*()F1\"\"#F.)F-F5F.)9$F5
F.F.!\"\"F9F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "Jp:=D(J
);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#JpGf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%
&arrowGF(,$*.\"\"#\"\"\"%\"AGF/%%betaG\"\"$%#s0GF2,&F/F/*()F1F.F/)F3F.
F/)9$F.F/F/!\"#F9F/F/F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
11 "Jpp:=D(Jp);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$JppGf*6#%\"xG6\"
6$%)operatorG%&arrowGF(,&*.\"\")\"\"\"%\"AGF/%%betaG\"\"&%#s0GF2,&F/F/
*()F1\"\"#F/)F3F7F/)9$F7F/F/!\"$F:F7!\"\"*,F7F/F0F/F1\"\"$F3F>F4!\"#F/
F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "The diagonal multiplic
ative terms of the kinetic energy matrix are collected in an effective
 potential function. The wavefunction " }{TEXT 19 6 "Psi(Q)" }{TEXT 
-1 22 " has been scaled into " }{TEXT 19 17 "Phi(Q)/sqrt(J(Q))" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "Vc:=x->7/8*(Jp(x)/J(x)^2)^2-
Jpp(x)/4/J(x)^3;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#VcGf*6#%\"xG6\"
6$%)operatorG%&arrowGF(,&*&#\"\"(\"\")\"\"\"*&-%#JpG6#9$\"\"#-%\"JGF5!
\"%F1F1*&#F1\"\"%F1*&-%$JppGF5F1F8!\"$F1!\"\"F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "A:=3999.9: beta:=0.00025:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "s0:=800;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#s0G\"$+)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
16 "HM:=Matrix(N,N):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "L:=
0: Vcf:=x->L*(L+1)/2/r(x)^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Vcf
Gf*6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,$*&#\"\"\"\"\"#F/*(%\"LGF/,&F2F/F
/F/F/-%\"rG6#9$!\"#F/F/F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 161 "for i from 1 to N do: f2:=1/J(i*dx): for j from 1 to N do: HM[i
,j]:=SSM[i,j]*(f2^2+1/J(j*dx)^2)/2:  od: HM[i,i]:=HM[i,i]-evalf(1/r(i*
dx)-Vcf(i*dx)-Vc(i*dx)): od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 24 "HM[1,2],HM[2,1],HM[2,2];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$!/+
>)f:8\"R!#7$!/'*=)f:8\"RF%$\"/f3Q9O'4*!#8" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 20 "EV:=Eigenvalues(HM);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%#EVG-%'RTABLEG6*\")'HK&>&%(complexG6#\"\")&%'VectorG6#%'column
G%,rectangularG%.Fortran_orderG7\"\"\"\";F4\"#?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "EV[1];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#^$$\"
3#*yTZx=<vK!#:$\"\"!F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "E
Vs:=sort(map(Re,convert(EV,list)));" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6
#>%$EVsG76$!3o0z%pqJ'p\\!#=$!3_tC\")4wUY7F($!3ASyo^?QXb!#>$!3L(R<2V]17
$F-$!3Y\"e9K%ot(*>F-$!3y%[h*\\4d(Q\"F-$!3+X[^(H$e>5F-$!3TN*G$3Q12y!#?$
!3m;w0)[,\"phF8$!3I\"4pV_@j*\\F8$!3eB\"[VRZ@4%F8$!3OrX3=.;(=$F8$!3C!4p
Z?g!)3#F8$!3;IL8)4)oex!#@$\"3G-Rj*QP\"e7F8$\"3-rW]H`z&=\"F-$\"33[:v_!)
=vsF-$\"3)pi/e1$znaF($\"3C65XqK2s`!#<$\"3#*yTZx=<vK!#:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Eh:=n->evalf(-1/2/n^2);" }}{PARA 
11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#EhGf*6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(-%&
evalfG6#,$*&#\"\"\"\"\"#F2*&F2F2*$)9$F3F2!\"\"F2F8F(F(F(" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "seq(Eh(i+L)-EVs[i],i=1..20);" }}
{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "66$!-@0$Ho.$!#9$!,v=!RsNF%$!-y'Q]t,\"!#:
$!,EGp&\\VF*$!,aycJE#F*$!,u#*QzJ\"F*$!+0vl[#)F*$!,6n\">Oa!#;$!,_6=!QPF
5$!,4jv%yOF5$!-1h5S3SF5$!.w8/>1&GF5$!.x)on>0()F5$!/+N)f^^x\"F5$!/h&=hf
.[$F5$!/X]Hy5\"Q\"F*$!/VPL%)>[uF*$!/+dk^A$[&F%$!/A+7$eMP&!#8$!/UZxV=vK
!#6" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 431 "Depending on the choice o
f s0 we can reduce the error for either the lowest eigenvalues or for \+
some intermediate ones. It appears, however, as if the solution of the
 resulting symmetric eigenvalue problem is harder than the solution of
 the original non-symmetric problem, i.e., the convergence is not as f
ast. It is harder to converge on the low-lying states - this may be a \+
price to be paid for scaling away the wavefunction with " }{TEXT 19 9 
"1/sqrt(J)" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT 264 11 "Exercise 4:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 138 "Cha
nge the Coulomb potential to a screened Coulomb potential form (e.g., \+
an appropriate potential for Helium singlet structure as used in " }
{TEXT 19 15 "AtomicModel.mws" }{TEXT -1 110 ") and compare the efficie
ncy of the methods of the last two sections in obtaining eigenenergy s
pectra for the " }{TEXT 19 7 "L=0,1,2" }{TEXT -1 9 " sectors." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 410 "
Note that we have computed our kinetic energy matrix elements by addin
g numbers, i.e., by carrying out the finite sums explicitly. For imple
mentations with very large matrices this becomes expensive. Closed-for
m expressions can be obtained, although they are more cumbersome than \+
the expressions for the second derivative as used in the first section
. They are obtained by starting with simple expressions for " }{TEXT 
19 22 "sum(k*sin(k*x),k=1..N)" }{TEXT -1 12 " [listed in " }{TEXT 267 
21 "Gradshteyn and Ryzhik" }{TEXT -1 50 ", 1.341] and differentiating \+
them with respect to " }{TEXT 19 1 "x" }{TEXT -1 42 " in order to prod
uce additional powers of " }{TEXT 19 1 "k" }{TEXT -1 139 ". Maple does
 not appear to be able to even compute the simplest of these summation
 formulae. One also needs to re-write the product terms (" }{TEXT 19 
7 "sin*sin" }{TEXT -1 5 " and " }{TEXT 19 7 "sin*cos" }{TEXT -1 28 ") \+
as sums or differences of " }{TEXT 19 3 "cos" }{TEXT -1 5 " and " }
{TEXT 19 3 "sin" }{TEXT -1 35 " of added and subtracted arguments." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "120 0 12" 13 }
{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }
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