{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 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{CSTYLE "" -1 328 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 329 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 330 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 331 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 332 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 333 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 334 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 335 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 336 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 337 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 338 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 339 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 340 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 341 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 342 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 343 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 344 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 345 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 346 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 347 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 348 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 349 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 350 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 351 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 352 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 353 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 354 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 355 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 356 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 357 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 358 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 359 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 362 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 363 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 364 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 365 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 366 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 367 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 368 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 369 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 370 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 371 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 372 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 373 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 374 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 375 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 376 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 377 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 378 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 379 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 380 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 381 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 382 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 383 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 384 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 385 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 386 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 387 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 388 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 389 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 390 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE " " -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 27 "Coupled spring-mass syste ms" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 658 "Th e spring-mass system under gravity (without and with friction) was dis cussed in the worksheet HOmovie.mws (without and with the application \+ of a driving force). Here we discuss a system with twice the number of degrees of freedom, namely a spring-mass system to which another spri ng-mass system is connected. We do not include gravity, and are intere sted in studying the the added features in the solutions. Martha Abell and James Braselton (Differential Equations using MapleV) obtain the \+ solutions to the problem using the Laplace transform (a technique used particularly by engineering students to solve ODes arising in mechani cs and electric circuits)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 205 "The set-up of the problem is as follows: we assu me horizontal motion (gravity is balanced by an air track with a varia ble amount of friction; we ignore the friction in the springs). We lab el the masses as " }{TEXT 291 1 "m" }{TEXT -1 7 "1, and " }{TEXT 292 1 "m" }{TEXT -1 27 "2, the spring constants as " }{TEXT 293 1 "k" } {TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 294 1 "k" }{TEXT -1 20 "2, the positions as " }{TEXT 263 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 264 1 "t" }{TEXT -1 6 ") a nd " }{TEXT 265 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 266 1 "t" }{TEXT -1 53 " ), etc.. Spring 1 is attached to a fixed point, mass " }{TEXT 290 1 "m " }{TEXT -1 48 "1 to its other end, and spring 2 is attached to " } {TEXT 289 1 "m" }{TEXT -1 9 "1, while " }{TEXT 288 1 "m" }{TEXT -1 54 "2 is attached to the other end of spring2. We measure " }{TEXT 267 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 268 1 "t" }{TEXT -1 6 ") and " }{TEXT 269 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 270 1 "t" }{TEXT -1 89 ") from the equil ibrium positions of springs 1 and 2 respectively. This implies that ma ss " }{TEXT 287 1 "m" }{TEXT -1 55 "1 experiences a Hooke force from s pring 1 in the form -" }{TEXT 273 1 "k" }{TEXT -1 2 "1*" }{TEXT 272 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 271 1 "t" }{TEXT -1 72 "), and from spring 2 (which is attached at the other end) in the form -" }{TEXT 286 1 " k" }{TEXT -1 3 "2*(" }{TEXT 285 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 284 1 "t " }{TEXT -1 2 ")-" }{TEXT 283 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 282 1 "t" }{TEXT -1 115 ")). The force for spring 1 is obvious, and the latter i s true since: (i) if the equilibrium position for spring 2, " }{TEXT 274 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 275 1 "t" }{TEXT -1 61 ") coincides \+ with the equilibrium position of spring 1, i.e., " }{TEXT 281 1 "x" } {TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 280 1 "t" }{TEXT -1 33 ") there is no force, an d (ii) if " }{TEXT 279 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 278 1 "t" }{TEXT -1 17 ") is larger than " }{TEXT 277 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 276 1 "t" }{TEXT -1 189 ") the second spring tends to balance the effe ct of the first spring, while if it is smaller, it will pull in the sa me direction as spring 1. Thus, we have for spring 1 (including fricti on):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart; with(plots ):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "m1:='m1': m2:='m2': k 1:='k1': k2:='k2': b:='b':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "x1(t):='x1(t)': x2(t):='x2(t)':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "NE1:=m1*diff(x1(t),t$2)=-k1*x1(t)-k2*(x1(t)-x2(t))-b* diff(x1(t),t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE1G/*&%#m1G\"\" \"-%%diffG6$-%#x1G6#%\"tG-%\"$G6$F/\"\"#F(,(*&%#k1GF(F,F(!\"\"*&%#k2GF (,&F,F(-%#x2GF.F7F(F7*&%\"bGF(-F*6$F,F/F(F7" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 232 "For the second mass we have a simpler force assignment , as it is free at one end; however, the the force from spring 2 acts \+ on it in a way that depends on both positions (similarly, but opposite in sign as in the action on mass m1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "NE2:=m2*diff(x2(t),t$2)=-k2*(x2(t)-x1(t))-b*diff(x2(t ),t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE2G/*&%#m2G\"\"\"-%%diffG 6$-%#x2G6#%\"tG-%\"$G6$F/\"\"#F(,&*&%#k2GF(,&F,F(-%#x1GF.!\"\"F(F:*&% \"bGF(-F*6$F,F/F(F:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "We assume \+ MKSA (SI) units again, i.e., masses in kg, distances in m, times in s, " }{TEXT 257 1 "b" }{TEXT -1 10 " in Ns/m, " }{TEXT 258 1 "k" }{TEXT -1 13 " in N/m, etc." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 107 "The initial conditions have to be specified in some wa y. We pick both positions at equilibrium, and masses " }{TEXT 262 1 "m " }{TEXT -1 7 "1 and " }{TEXT 261 1 "m" }{TEXT -1 197 "2 moving with \+ the same velocity. A total of 4 quantities have to be specified, as we have two coupled 2nd order ODEs. For a start, we pick the two masses \+ to be equal, and vary the spring constants." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "We can ask ourselves whether we can set them, e.g., in such a w ay that mass " }{TEXT 260 1 "m" }{TEXT -1 27 "2 essentially follows ma ss " }{TEXT 259 1 "m" }{TEXT -1 2 "1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "First of all, one has to understand t hat the location of mass " }{TEXT 309 1 "m" }{TEXT -1 51 "2 with respe ct to the laboratory frame is given by " }{TEXT 308 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 307 1 "t" }{TEXT -1 2 ")+" }{TEXT 306 1 "x" }{TEXT -1 2 "2 (" }{TEXT 305 1 "t" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Before beginning to play seriously with \+ the solutions it helps to figure out some limiting cases:" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 12 "(i) suppose " }{TEXT 303 1 "k" }{TEXT -1 22 "1 is \+ much bigger than " }{TEXT 302 1 "k" }{TEXT -1 130 "2, i.e., spring 1 i s much stiffer than spring2, and the motion is started with spring 1 o ut of equilibrium (position or velocity):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "in this case equation NE1 corresponds to an harmonic oscillator fo r " }{TEXT 304 1 "x" }{TEXT -1 80 "1 with a small perturbation; it mak es sense to find an approximate solution for " }{TEXT 314 1 "x" } {TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 313 1 "t" }{TEXT -1 26 ") without the coupling \+ to " }{TEXT 312 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 311 1 "t" }{TEXT -1 28 " ); in the equation for mass " }{TEXT 310 1 "m" }{TEXT -1 37 "2 we can \+ think of the term involving " }{TEXT 316 1 "x" }{TEXT -1 2 "1(" } {TEXT 315 1 "t" }{TEXT -1 51 ") as a predetermined driving force. The \+ motion for " }{TEXT 317 1 "m" }{TEXT -1 153 "2 in the lab frame will b e complicated. It is worthwhile to begin the explorations with this ca se, and to observe whether the expectations are fulfilled." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 134 "(ii) same as in \+ (i), except that spring 2 is started away from equilibrium, while spri ng 1 starts at rest in the equilibrium position " }{TEXT 318 1 "x" } {TEXT -1 7 "1(0)=0:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "in this case the m otion in " }{TEXT 319 1 "x" }{TEXT -1 22 "1 remains small; mass " } {TEXT 320 1 "m" }{TEXT -1 45 "2 behaves as a perturbed harmonic oscill ator." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 " (iii) suppose " }{TEXT 322 1 "k" }{TEXT -1 22 "2 is much bigger than \+ " }{TEXT 321 1 "k" }{TEXT -1 2 "1:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "ir respective of whether the initial energy (motion) is in spring 1 or sp ring 2, the motion corresponds of oscillations around " }{TEXT 324 1 " x" }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 323 1 "t" }{TEXT -1 2 ")=" }{TEXT 325 1 "x " }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 326 1 "t" }{TEXT -1 67 "), the net result be ing damped near-harmonic oscillations for mass " }{TEXT 327 1 "m" } {TEXT -1 19 "2 in the lab frame." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 "(iv) comparable spring constants: the mo tion is complicated with an exchange of energy between the springs hap pening continuously. This is the result of both oscillators being in r esonance." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 36 "m1:=1; m2:=1; k1:=4; k2:=5; b:=1/10;" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#m1G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# >%#m2G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k1G\"\"%" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k2G\"\"&" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"bG#\"\"\"\"#5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "IC: =x1(0)=0,D(x1)(0)=1/2,x2(0)=0,D(x2)(0)=0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#ICG6&/-%#x1G6#\"\"!F*/--%\"DG6#F(F)#\"\"\"\"\"#/-%#x 2GF)F*/--F.6#F5F)F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "This initi al condition implies that both masses move in unison at " }{TEXT 295 1 "t" }{TEXT -1 85 "=0, i.e., there is no relative displacement, and n o relative velocity between masses " }{TEXT 297 1 "m" }{TEXT -1 6 "2 a nd " }{TEXT 296 1 "m" }{TEXT -1 2 "1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "In Maple 5.01 one needs to specify t he Laplace method to obtain a solution. In Maple 6.0 a solution is obt ained without this hint (and by a different method)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "sol:=dsolve(\{NE1,NE2,IC\},\{x1(t),x2(t) \},method=laplace);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$solG<$/-%#x2 G6#%\"tG,$-%$sumG6$*&,*#!&$>J\"+!e_F&=\"\"\"%'_alphaG#!(*RTi\",+e_F&=* $)F5\"\"#\"\"\"#!%(R)F3*$)F5\"\"$F<#!%*z#\")Hwj#*F4-%$expG6#*&F5F4F*F4 F4/F5-%'RootOfG6#,,*$)%#_ZG\"\"%F<\"$+\"*$)FPF;F<\"%,9*$)FPFAF<\"#?\"% +?F4FP\"$S\"\"$]#/-%#x1GF),$-F-6$*&,*F9#!%.!*FDF?#!&?+'FD#!&&)***\"*e_ F&=F4F5#!),:+5\"*!Hwj#*F4FEF " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "assign(sol);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 " Now that the solution is assigned, we can simply type:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "x1(t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$-%$sumG6$*&,**$)%'_alphaG\"\"#\"\"\"#!%.!*\")Hwj#**$)F+\"\"$F- #!&?+'F0#!&&)***\"*e_F&=\"\"\"F+#!),:+5\"*!Hwj#*F9-%$expG6#*&F+F9%\"tG F9F9/F+-%'RootOfG6#,,*$)%#_ZG\"\"%F-\"$+\"*$)FIF,F-\"%,9*$)FIF3F-\"#? \"%+?F9FI\"$S\"\"\"&" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "but not:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "x1(1);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#-%#x1G6#\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%#x1G6#\"\"\" " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 380 "Therefore, we define mapping s based on x1(t) and x2(t). Note that assigning a solution has the dra wback, that one has to unassign the dependent variables before re-usin g it. This was the reason for statements of the type: x1(t):='x1(t)': \+ before defining the Newton equation. It has to be executed before re-u sing the assignment with a new choice of parameters in the same sessio n." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "X1:=unapply(Re(x1(t)) ,t): X2:=unapply(Re(x2(t)),t):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "plot([X1(t),X2(t),X1(t)+X2(t)],t=0..40,color=[red,blue,green]) ;" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 694 299 299 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVESG6 $7edl7$\"\"!F(7$$\"+X&)G\\a!#6$\"+o?:0FF,7$$\"+4x&)*3\"!#5$\"+gE\"QK&F ,7$$\"+klyM;F2$\"+?pa(y(F,7$$\"+]9QF2$\"+ELX'\\\"F27$$\"+L3VfV F2$\"+?FE*e\"F27$$\"+)ofV!\\F2$\"+E2pV;F27$$\"+U&)G\\aF2$\"+))*4,m\"F2 7$$\"+'Ri,k\"F27$$\"+]i9RlF2$\"+_?o'e\"F27$$\"+eR+HwF2$\"+ D%zcR\"F27$$\"+m;')=()F2$\"+m_BG6F27$$\"+G59n'*F2$\"+![\"=;()F,7$$\"+R ?ah5!\"*$\"+]j?wiF,7$$\"+w*pj:\"Fcp$\"+\"G8=E%F,7$$\"+7z>^7Fcp$\"+=qv1 HF,7$$\"+\")=h)H\"Fcp$\"+5.>DDF,7$$\"+\\e-Y8Fcp$\"+!>ASN#F,7$$\"+LGtp8 Fcp$\"+fc+[BF,7$$\"+<)RMR\"Fcp$\"+!GGXR#F,7$$\"+,o9<9Fcp$\"+?xn#\\#F,7 $$\"+&y`3W\"Fcp$\"+*=C6k#F,7$$\"+A``F,7$$\"+\"f`rt\"Fcp$\"+&*y%4i(F,7$$\"+BvzV=Fcp$\"+bJm2**F,7$$ \"+c9W]>Fcp$\"+`$*>x6F27$$\"+)Q&3d?Fcp$\"+)oJ>G\"F27$$\"+sju$3#Fcp$\"+ cJk\"H\"F27$$\"+btS5@Fcp$\"+4L.%H\"F27$$\"+R$oq8#Fcp$\"+E'R))G\"F27$$ \"+@$HP;#Fcp$\"+kK'eF\"F27$$\"+)G^q@#Fcp$\"+di4E7F27$$\"+`KPqAFcp$\"+Q BZW6F27$$\"+?_pBBFcp$\"+B0\"=.\"F27$$\"+'=,\"f#Fcp$\"+gs&)4)*!#77$$\"+vtoWEFcp$!+())f=K\"F,7$$\"+$zi$)p #Fcp$!+yEMPOF,7$$\"+8#Q?v#Fcp$!+&>l]!fF,7$$\"+JOr0GFcp$!+Ni4m!)F,7$$\" +]!*QfGFcp$!+ve\\15F27$$\"+oW18HFcp$!+&p[^=\"F27$$\"+1`T?IFcp$!+QjJi9F 27$$\"+VhwFJFcp$!+)fbUh\"F27$$\"+aQgaJFcp$!+)y%RJ;F27$$\"+j:W\"=$Fcp$! 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e>$F,7$Fbgp$\"+o^l)z%F,7$$\"+%oqlf#F_im$\"+3SwgaF,7$Fggp$\"++.lvfF,7$$ \"+')yt6EF_im$\"+l$\\d:'F,7$$\"+>Oz;EF_im$\"+$piXF'F,7$$\"+`$\\=i#F_im $\"+GB_EjF,7$F\\hp$\"+LRm2jF,7$F`ip$\"+&=*o1bF,7$Fjip$\"+v/09PF,7$F_jp $\"+#=B#*G\"F,7$Fdjp$!+&p4?%))Fhx7$Fijp$!+#))f6A#F,7$F^[q$!+jgb9EF,7$F c[q$!+?G7jCF,7$Fh[q$!+O8M#H#F,7$$\"+uKu(z#F_im$!+,+d&H#F,7$F]\\q$!+_UO EBF,7$$\"+!>Ev!GF_im$!+j\"HtQ#F,7$Fb\\q$!+C&o(zCF,7$F\\]q$!+XVcdFF,7$F f]q$!+!>oN9$F,7$F[^q$!+BDiqTF,7$F`^q$!+o)4J'\\F,7$Fe^q$!+ST]%3&F,7$Fj^ q$!+?a=_\\F,7$Fd_q$!+QNIYXF,7$F^`q$!+!=X\"yQF,7$Fc`q$!+7Etu?F,7$Fh`q$ \"++N.X5F`\\s7$F\\bq$\"+o\"4p!=F,7$Ffbq$\"+5f4+HF,7$$\"+6KJ.IF_im$\"+X [2]IF,7$$\"+;Gd3IF_im$\"+S'3j9$F,7$$\"+@C$Q,$F_im$\"++$HG>$F,7$F[cq$\" +ej/&>$F,7$$\"+N7hHIF_im$\"+b'RP4$F,7$F`cq$\"+yJ,/HF,7$$\"+a'\\10$F_im $\"+&QlCp#F,7$Fecq$\"++a*4_#F,7$$\"+t!)orIF_im$\"+dJ*zV#F,7$Fjcq$\"+A3 erCF,7$$\"+$=wF5$F_im$\"+0+DnGF,7$F_dq$\"+?am![$F,7$$\"+M&HO8$F_im$\"+ $3:_t$F,7$$\"+%)R\"R9$F_im$\"+y7CwQF,7$$\"+4i0\\JF_im$\"+!3M\"))QF,7$$ \"+M%)>aJF_im$\"+qL=aQF,7$$\"+f1MfJF_im$\"+3,xqPF,7$Fddq$\"+0wgNOF,7$F heq$\"+&z8V^#F,7$Fbfq$\"+N71\"4(Fhx7$F\\gq$!+$4P%\\7F,7$F`hq$!+DyKjFF, 7$$\"+%e()4E$F_im$!+]l()3KF,7$$\"+ctNrKF_im$!+VD+[MF,7$$\"+Grs\"G$F_im $!+SrP$\\$F,7$Fehq$!+BA+yLF,7$$\"+Wk$GJ$F_im$!+$H.h'GF,7$Fjhq$!+]=**\\ BF,7$F_iq$!+y/ciAF,7$Fdiq$!+V`(3?#F,7$Fiiq$!+!=Ll;#F,7$F^jq$!+P/rf@F,7 $Fcjq$!+&zCBA#F,7$Fhjq$!+J7FjBF,7$$\"+N*)f'Q$F_im$!+Vi*)RDF,7$F][r$!+0 /%))p#F,7$$\"+8\"3yS$F_im$!+3Q/%y#F,7$Fb[r$!+GO8XFF,7$Ff\\r$!+0CBP$*Fh x7$F`]r$\"+s&e?E#F,7$Fj]r$\"+S]IKKF,7$Fd^r$\"+bm1lNF,7$Fi^r$\"+)=uvI$F ,7$F^_r$\"+?*fTq#F,7$Fh_r$\"+!R4I+#F,7$F\\ar$\"+:98P;F,7$$\"+?nBNOF_im $\"+fml5;F,7$Faar$\"+)>y,m\"F,7$$\"+#R)QdOF_im$\"+8[2U6Fhx7$Fdcr$!+=W4'=\"F,7$ F^dr$!+4^;#[#F,7$Fber$!+[Gn#H$F,7$$\"+8_C&z$F_im$!+SA%*)Q$F,7$$\"+Oj_+ QF_im$!+]7(*RMF,7$$\"+fu!e!QF_im$!+8Y`YMF,7$Fger$!+&G'e5MF,7$$\"+F3l@Q F_im$!+q([VA$F,7$F\\fr$!+`gc;HF,7$Fafr$!+f\\Ke@F,7$Fffr$!+Lx]d9F,7$F`g r$!+#e%Q27F,7$Fjgr$!+5tPU5F,7$F_hr$!+??i%e*Fhx7$Fdhr$!+Imc$Q*Fhx7$F\\[ s$\"+0)))zD(Fhx-Fa[s6&Fc[sF(F(Fd[s-F$6$7jxF'7$F*$\"+_?'=r#F,7$F0$\"+GO ,x`F,7$F6$\"+7tvkzF,7$F;$\"+Z#RY/\"F27$FE$\"+a33*\\\"F27$FO$\"+12e%)=F 27$FY$\"+f2S\">#F27$F]o$\"+m3-16ZEF27$$ \"+Z8+$>*F2$\"+h(4[m#F27$F\\p$\"+sK%3L\"F27$Ff v$\"+qg1&y*F,7$F`w$\"+F27$F][l$!+E6z.AF 27$Fa\\l$!+m)yLR#F27$F[]l$!+-^`1DF27$$\"+F\"))eR$Fcp$!+g\"*)e`#F27$F`] l$!+\"QX([DF27$$\"+X(GF]$Fcp$!+w5YYDF27$Fe]l$!+*)pcIDF27$Fj]l$!+[EekCF 27$F_^l$!+qbAkBF27$Fi^l$!+_!Rt5#F27$Fg`l$!+y<9@=F27$Faal$!+\\%[*G:F27$ F[bl$!+-@%Q#F27 $Fcil$\"+#>gqQ#F27$Fhil$\"+KdQYBF27$F]jl$\"+i2T_AF27$Fgjl$\"+ag1a>F27$ Fa[m$\"+3fi)e\"F27$F_]m$\"+c>@?7F27$Fi]m$\"+dwY`&)F,7$F^^m$\"+$3`Ze%F, 7$Fc^m$!*8Q+F\"F,7$Fh^m$!+p6*)))GF,7$F]_m$!+pj#Q$eF,7$Fg_m$!+%QmX())F, 7$Fa`m$!+b5!*)=\"F27$F[am$!+e&QKZ\"F27$Feam$!+H]JDF2 7$F_bm$!+P@-z?F27$Fdbm$!+39\"Q7#F27$Fibm$!+L3db@F27$Fccm$!+_H:u@F27$F] dm$!+VKgz@F27$Fbdm$!+\"3JA:#F27$Fgdm$!+W,Wx?F27$Faem$!+YI(H\"=F27$F[fm $!+V7O`9F27$Fefm$!+&Q6(=5F27$Fchm$!+j'3U5'F,7$Fhhm$!+2E!)eBF,7$F]im$\" +rE#yP\"F,7$F\\[n$\"+!y!**)[&F,7$Ff[n$\"+dp9%)**F,7$F`\\n$\"+)eLpV\"F2 7$Fj\\n$\"+h\"=tx\"F27$F_]n$\"+RZYz=F27$Fd]n$\"+/T2J>F27$F^^n$\"+GDiO> F27$Fh^n$\"+[BUG>F27$F]_n$\"+Hde1>F27$Fb_n$\"+&Gf9(=F27$F\\`n$\"+F:Z7; F27$Ff`n$\"+uKy<7F27$F`an$\"+( RF,7$Fado$!+mw*>L)F,7$Ffdo$!+JJrc5F27$F[eo$!+K%)*)H6F27$F`eo$!+4P#[;\" F27$$\"+2koy=F_im$!+_*>Q;\"F27$$\"+dfg$)=F_im$!+SR&y:\"F27$$\"+2b_))=F _im$!+F_im$!+KD`v5F27$Fjeo$!+&o`C& **F,7$Fdfo$!+C8)HL(F,7$F^go$!+f&4@x$F,7$Fhgo$\"*FYIV\"F,7$Fbho$\"+:]\" ft$F,7$F\\io$\"+:)*p\"e'F,7$Ffio$\"+blDT$)F,7$$\"+v?F_im$\"+glI<%*F,7$F`jo$\"+!)p1V&*F,7$Fj jo$\"+FkW0'*F,7$Fd[p$\"+#fwEj*F,7$Fi[p$\"+\"H.4i*F,7$F^\\p$\"+W)p_b*F, 7$Fc\\p$\"+J&y@;*F,7$Fh\\p$\"+Q&[LA)F,7$F\\^p$\"+kgD!R'F,7$Ff^p$\"+:zJ -PF,7$F`_p$\"+d*f%>WFhx7$Fj_p$!+s-.))GF,7$F_`p$!+$)4TBeF,7$Fd`p$!+D%y$ GyF,7$$\"+]OV*H#F_im$!+Bf'oF,7$Fjip$\"+Yty<[F,7$ Fdjp$\"+!H>i$=F,7$F^[q$!+LhB,FF,7$Fh[q$!+C[8tlF,7$Ff]q$!+82R@zF,7$F`^q $!+R#HqL'F,7$F^`q$!+U&=7r$F,7$Fh`q$!+\"*Ror7F,7$Ffbq$\"+V&)y#z\"F,7$F` cq$\"+fbj!Q&F,7$Fjcq$\"+IMKF,7 $Fbfq$\"+rxClaFhx7$F`hq$!+\\eqZ>F,7$Fehq$!+*Q*4:YF,7$Fjhq$!+>:8!H'F,7$ Fdiq$!+DG'F,7$Fcjq$!+[#RS)eF,7$Fhjq$!+iLu3aF,7$F][r $!+&f'R-TF,7$Fb[r$!+]S/tDF,7$F`]r$\"+H1z]@F,7$Fd^r$\"+R?%y(QF,7$F^_r$ \"+u11a_F,7$Fc_r$\"+(fV8U&F,7$Fh_r$\"+awnOaF,7$F]`r$\"+'4(G#Q&F,7$Fb`r $\"++5K&G&F,7$Fg`r$\"+Z;\"f9&F,7$F\\ar$\"+E4/l\\F,7$Faar$\"+K?puQF,7$F far$\"+**pU(Q#F,7$Fdcr$!+hZWQ@F,7$Fber$!+VK$3T$F,7$F\\fr$!+z7z+WF,7$$ \"+*[AB%QF_im$!+(eeS_%F,7$Fafr$!+x%yfc%F,7$$\"+B8aiQF_im$!+wH#*4XF,7$F ffr$!+')G.WVF,7$Fjgr$!+()*=%pOF,7$Fdhr$!+'zdIf#F,7$F\\[s$\"+0(\\wK#F,- Fa[s6&Fc[sF(Fd[sF(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"%!G-%%VIEWG6$;F(F\\[s%(DEFAUL TG" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "From the graph of the solutions for both \+ positions we note several things:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "(i) m ass " }{TEXT 300 1 "m" }{TEXT -1 17 "2 indeed follows " }{TEXT 301 1 " m" }{TEXT -1 25 "1. The interpretation of " }{TEXT 329 1 "x" }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 328 1 "t" }{TEXT -1 91 ") is that the second spring-m ass system does carry out oscillations around its equilibrium;" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 285 "(ii) the solutions imply that we are run ning a simulation of some kind of superspring: the springs can move to both sides of the equilibrium position (this means that theu are pre- stretched), but more importantly, the two masses can switch positions \+ (they can pass through each other)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "(i ii) for the motion of mass " }{TEXT 330 1 "m" }{TEXT -1 94 "2 in the l ab frame we obtain deformed damped harmonic oscillations for many inti al conditions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 379 "The next step in understanding the solution is to g enerate an animation as in HOmovie.mws. We draw the system horizontall y to stress that gravity is not involved (apart from providing the fri ction, which is reduced by the airtrack). For the drawing we will choo se the masses to be thin vertical slabs. As before, we pick a width fo r the springs, as well as their number of turns." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "w:=0.2: nT:=10:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Given a position for the mass y(t) we divide this length into 2 nT segments, and generate a list of points which alternate on \+ the left and right." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "DL:= proc(t) local i,L,d1,d2,le1,le2,t0,x10; global w,nT; t0:=evalf(t);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "d1:=evalf(X1(t0)/(2*nT+1)); le1:=1; le2:=1; L:=[[0.,0.],[d1*0.5,w]]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 488 "for i from 1 to nT do: L:=[op(L),[d1*(2*i-0.5),-w],[d1*(2*i+0.5), w]]; od: L:=[op(L),[X1(t0),0.],[X1(t0)-w/80,1.1*w],[X1(t0)+w/80,1.1*w] ,[X1(t0)+w/80,-1.1*w],[X1(t0)-w/80,-1.1*w],[X1(t0),0.]]; d2:=evalf(X2( t0)/(2*nT+1)); x10:=X1(t0); L:=[op(L),[x10+d1*0.5,w]]: for i from 1 to nT do: L:=[op(L),[x10+d2*(2*i-0.5),-w],[x10+d2*(2*i+0.5),w]]; od: L:= 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origin." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "plot([X 1(t),X2(t),t=0..10]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7cv7$\"\"!F(7$$\"+l?:0F!#6$\"++N)*4n!#97$$ \"+bE\"QK&F,$\"++n4?`!#87$$\"+0pa(y(F,$\"+0R5s<\"F,7$$\"+yw/ ]9F?$\"+]%Hcu\"F,7$$\"+0\"*zX:F?$\"+52BfCF,7$$\"+Q\"3qe\"F?$\"+!3BH#HF ,7$$\"+$47!>;F?$\"+DPHJMF,7$$\"+Z9\"=k\"F?$\"+v`b$)RF,7$$\"+**4[b;F?$ \"+I2WyXF,7$$\"+uT4c;F?$\"+I!o'))eF,7$$\"+>#yGi\"F?$\"+b@mUtF,7$$\"+m \\Re:F?$\"+S89D*)F,7$$\"+Y+&oY\"F?$\"+(*pVf5F?7$$\"+i!RJN\"F?$\"+6_GJ7 F?7$$\"+INxA7F?$\"+'GTRS\"F?7$$\"+!*GO#3\"F?$\"+k7Fs:F?7$$\"+!RINP*F,$ \"+_YtKs70FF,$\"+juy:BF?7$$\"+* ))GZ_#F,$\"+`;w>BF?7$$\"+!e&)fS#F,$\"+#)=%pJ#F?7$$\"+G#[$\\BF,$\"+XeJ2 BF?7$$\"+[%)HWBF,$\"+C$e**H#F?7$$\"+\\knaBF,$\"+!)R\"4H#F?7$$\"+fGP!Q# F,$\"+`K>!G#F?7$$\"+=?C@CF,$\"+0#4yE#F?7$$\"+sptZDF,$\"+Uj6QAF?7$$\"+^ mGKFF,$\"+%>\"*>?#F?7$$\"+#*35^SF,$\"+9N4*)>F?7$$\"+l#))40'F,$\"+_Ua!p 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F,$!+!Rhy[)F,7$$\"+INudxF;$!+IP;=!*F,7$$!+Z:hy?F,$!+S%3C.*F,7$$!+7&H)* o$F,$!+]t'Q)))F,7$$!+!HRYK&F,$!+D/>h')F,7$$!+l8IPpF,$!+&GK:R)F,7$$!+v& >A[)F,$!+S(fA5)F,7$$!+$*z!36\"F?$!+&[[ge(F,7$$!+P7$\\I\"F?$!++,vfsF,7$ $!+gJ/r8F?$!+g0\"o?(F,7$$!+&4sBT\"F?$!+D#Q\\C(F,7$$!+1]WB9F?$!+SD$)*H( F,7$$!+#Gi!G9F?$!+]N*)ytF,7$$!+!fRiU\"F?$!+b=%>[(F,7$$!+F;/=9F?$!+?')[ 3wF,7$$!+YlgD8F?$!+!)>6k(F;$!+`]\"[%\\F, 7$$!+R*4$**HF;$!+\"pI1:#F,7$$!+\\pv9:F,$\"+3'[<>*F;7$$!+R-10DF,$\"+`8q 9QF,-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$%!GF`en-%%VIEWG6$% (DEFAULTGFden" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 140 "We proceed by performing a simula tion of a system that is more easily set up on an air track. Three spr ings (e.g., of equal spring constant " }{TEXT 331 1 "k" }{TEXT -1 32 " ) hold two (e.g., equal) masses " }{TEXT 332 1 "m" }{TEXT -1 6 "1 and \+ " }{TEXT 334 1 "m" }{TEXT -1 145 "2 between themselves. The springs ar e pre-stretched by this set-up, so that they all can be compressed and stretched by the motion of the masses." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Mass " }{TEXT 338 1 "m" }{TEXT -1 56 "1 is attached on one side to sp ring 1 (characterized by " }{TEXT 337 1 "k" }{TEXT -1 9 "1), mass " } {TEXT 336 1 "m" }{TEXT -1 12 "2 to spring " }{TEXT 335 1 "k" }{TEXT -1 36 "2, and both are connected by spring " }{TEXT 333 1 "k" }{TEXT -1 2 "3." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 262 "It is best to use a coordinate system that uses the equilibrium p ositions for springs 1 and 2 as the coordinates and of opposite sign t o each other. That way the equaations of motion are cast into symmetri cal form. The middle spring's compression is measured by " }{TEXT 341 1 "x" }{TEXT -1 2 "1+" }{TEXT 340 1 "x" }{TEXT -1 2 "2." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "For this choice of coordinates the force on " } {TEXT 339 1 "m" }{TEXT -1 16 "1 consists of -" }{TEXT 345 1 "k" } {TEXT -1 11 "1*x1, and -" }{TEXT 344 1 "k" }{TEXT -1 3 "3*(" }{TEXT 342 1 "x" }{TEXT -1 2 "1+" }{TEXT 343 1 "x" }{TEXT -1 19 "2). Similarl y, for " }{TEXT 346 1 "m" }{TEXT -1 11 "2 we have -" }{TEXT 350 1 "k" }{TEXT -1 11 "2*x2, and -" }{TEXT 349 1 "k" }{TEXT -1 3 "3*(" }{TEXT 347 1 "x" }{TEXT -1 2 "1+" }{TEXT 348 1 "x" }{TEXT -1 2 "2)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart; with(plots):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "m1:='m1': m2:='m2': k1:='k1' : k2:='k2': k3:='k3': b:='b':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "x1(t):='x1(t)': x2(t):='x2(t)':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "NE1:=m1*diff(x1(t),t$2)=-k1*x1(t)-k3*(x1(t)+x2(t))-b* diff(x1(t),t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE1G/*&%#m1G\"\" \"-%%diffG6$-%#x1G6#%\"tG-%\"$G6$F/\"\"#F(,(*&%#k1GF(F,F(!\"\"*&%#k3GF (,&F,F(-%#x2GF.F(F(F7*&%\"bGF(-F*6$F,F/F(F7" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "NE2:=m2*diff(x2(t),t$2)=-k2*x2(t)-k3*(x1(t)+x2(t)) -b*diff(x2(t),t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE2G/*&%#m2G\" \"\"-%%diffG6$-%#x2G6#%\"tG-%\"$G6$F/\"\"#F(,(*&%#k2GF(F,F(!\"\"*&%#k3 GF(,&-%#x1GF.F(F,F(F(F7*&%\"bGF(-F*6$F,F/F(F7" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "It helps to choose a weak coupling between the two osc illators, i.e., a weak spring between masses " }{TEXT 352 1 "m" } {TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 351 1 "m" }{TEXT -1 3 "2.:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "m1:=1; m2:=1; k1:=1; k2:=1; k3:=1/1 0; b:=1/50;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#m1G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#m2G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k1G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k2G\"\"\"" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k3G#\"\"\"\"#5" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"bG#\"\"\"\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "IC:=x1(0)=0,D(x1)(0)=1,x2(0)=0,D(x2)(0)=0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#ICG6&/-%#x1G6#\"\"!F*/--%\"DG6#F(F)\"\"\" /-%#x2GF)F*/--F.6#F3F)F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "sol:=dsolve(\{NE1,NE2,IC\},\{x1(t),x2(t)\},method=laplace);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$solG<$/-%#x1G6#%\"tG,&*(-%$expG6#,$F*#!\" \"\"$+\"\"\"\"-%%sqrtG6#\"#r\"\"\"-%$sinG6#,$*&F5F9F*F4#\"#8F3F4#\"#] \"$B**(F-F9-F66#\"%66F9-F;6#,$*&FEF9F*F9#\"\"$F3F4#FB\"%LL/-%#x2GF),&F ,FAFD#!#]FO" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "assign(sol); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "X1:=unapply(Re(x1(t)),t ): X2:=unapply(Re(x2(t)),t):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "plot([X1(t),X2(t)],t=0..60,color=[red,blue]);" }}{PARA 13 "" 1 " " {GLPLOT2D 695 299 299 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6$7g\\l7$\"\"!F(7$$\" +jlyM;!#5$\"+$F,7$$\"+)ofV!\\F,$\"+s!H!oY F,7$$\"+]i9RlF,$\"+o+A**fF,7$$\"+8G$R<)F,$\"+<;a]rF,7$$\"+v$>(3)*F,$\" +$\\y*)3)F,7$$\"+%f]V9\"!\"*$\"+)[**yy)F,7$$\"+]#HyI\"FK$\"+)Q=yA*F,7$ $\"+.-&*y8FK$\"+M;3N$*F,7$$\"+b62]9FK$\"+S&)[!R*F,7$$\"+3@>@:FK$\"+a&G QR*F,7$$\"+gIJ#f\"FK$\"+D?=X$*F,7$$\"+l\\bM?FK$\"+g\"\\@+)F,7$$\"+z1Gh@FK$\"+5/'y=(F,7$$ \"+%eANI#FK$\"+\"4M$=iF,7$$\"+)[kdW#FK$\"+^!Hd6&F,7$$\"+(QIdg#FK$\"+Y; )zu$F,7$$\"+&G'plFFK$\"+aYk#G#F,7$$\"+%=ic#HFK$\"+S:q7w!#67$$\"+#3Gc3$ FK$!+O1HKxF^r7$$\"+\")RfXKFK$!+a))zxAF,7$$\"+z)fbS$FK$!+Q0Y5PF,7$$\"+y d_lNFK$!+Y3\\J]F,7$$\"+v;\\DPFK$!+H8`/iF,7$$\"+Lz^')QFK$!+$\\:N?(F,7$$ \"+*=Wv/%FK$!+)z&)G*zF,7$$\"+Y/d3UFK$!+31`^&)F,7$$\"+,nfpVFK$!+/O/l))F ,7$$\"+I)4,X%FK$!+*e-t#*)F,7$$\"+eHiIXFK$!+6W4E*)F,7$$\"+'3O6h%FK$!+la jh))F,7$$\"+9#\\;p%FK$!+cNfM()F,7$$\"+qan_[FK$!+g$[wH)F,7$$\"+Dup&F,7$$\"+1X[%\\& FK$!+a\\D)[%F,7$$\"+KauacFK$!+%G]B;$F,7$$\"+fj+:eFK$!+F]\"yv\"F,7$$\"+ &Gn_(fFK$!*)z'p9$F,7$$\"+7#Gb8'FK$\"+%Roh7\"F,7$$\"+Q\"*y&H'FK$\"+2&>V _#F,7$$\"+K:PWkFK$\"+5XW[PF,7$$\"+ER&Hf'FK$\"+(\\'Ht[F,7$$\"+?j`TnFK$ \"+aDWseF,7$$\"+8(=,*oFK$\"+*f*pAnF,7$$\"+,NG(=(FK$\"+_5@.zF,7$$\"+)G[ W[(FK$\"+K*4CJ)F,7$$\"+8_9#z(FK$\"+f0g&*yF,7$$\"+Q@%)*4)FK$\"+3w8\"o'F ,7$$\"+,1p`#)FK$\"+TpF:eF,7$$\"+j!RvS)FK$\"+h1^2[F,7$$\"+EvQh&)FK$\"+p ?B&o$F,7$$\"+))fB:()FK$\"+X2cyCF,7$$\"+)GYV())FK$\"+^(Qf<\"F,7$$\"+)ec M.*FK$!*E12Y\"F,7$$\"+))oc#>*FK$!+ONo]9F,7$$\"+)=x;N*FK$!+o-(>q#F,7$$ \"+)[(y5&*FK$!+$*4&e'QF,7$$\"+)y(*)p'*FK$!+m'H5\"\\F,7$$\"+)33!H)*FK$! +')*R)4eF,7$$\"+)Q=\"))**FK$!+e4)*QlF,7$$\"+U=n95!\")$!+XAqyqF,7$$\"+X =`I5Fi_l$!+h!Q)=uF,7$$\"+Z=YQ5Fi_l$!+rxg6vF,7$$\"+[=RY5Fi_l$!+%GfAb(F, 7$$\"+]=Ka5Fi_l$!+\"z23a(F,7$$\"+^=Di5Fi_l$!+()*HwZ(F,7$$\"+e=(R4\"Fi_ l$!+)H$e6Fi_l$!+f!4O@$F,7$$\"+`Pju6Fi_l$!+:W-^?F,7$$\"+:x%4>\"Fi_l$!***R? W)F,7$$\"+y;E27Fi_l$\"*Jd=r$F,7$$\"+ScdB7Fi_l$\"+mGpf:F,7$$\"+.'*))R7F i_l$\"+W.7(o#F,7$$\"+lN?c7Fi_l$\"+<\\^@PF,7$$\"+gA%\\G\"Fi_l$\"+m`&=B& F,7$$\"+a4o88Fi_l$\"+.ejSiF,7$$\"+-.0G8Fi_l$\"+CM\"Fi _l$\"+v3NqmF,7$$\"+BVg\\8Fi_l$\"+>IK$o'F,7$$\"+'**)yc8Fi_l$\"+q0]\"Fi_l$ \"*[Ihk\"F,7$$\"+*48o^\"Fi_l$!*yfhy)F,7$$\"+.g0L:Fi_l$!+#eq\"z=F,7$$\" +2*)H\\:Fi_l$!+nc$*3GF,7$$\"+5=al:Fi_l$!+\"fEBk$F,7$$\"+=w-)f\"Fi_l$!+ @pUM\\F,7$$\"+DM^I;Fi_l$!+)\\@ai&F,7$$\"+\\*R$Q;Fi_l$!+)yeSp&F,7$$\"+t k;Y;Fi_l$!+uW.CdF,7$$\"+(*H*Rl\"Fi_l$!+^J\\:dF,7$$\"+?&>=m\"Fi_l$!+b(R )ocF,7$$\"+oDZx;Fi_l$!+Gi3kaF,7$$\"+:c7$p\"Fi_l$!+.])z6&F,7$$\"+5'p5XF,7$$\"+1Y-T=Fi_l$\"+fy&G!>F,7$$\"+RNXp=Fi_l$\"+ kWsNJF,7$$\"+\"HeK!>Fi_l$\"+[No\"=%F,7$$\"+VI1P>Fi_l$\"+CVGsYF,7$$\"+J U^X>Fi_l$\"+HWb-ZF,7$$\"+>a'R&>Fi_l$\"+;r'ep%F,7$$\"+2mTi>Fi_l$\"+jWt_ YF,7$$\"+&zn3(>Fi_l$\"+-A&Rd%F,7$$\"+r,x()>Fi_l$\"+Q(zRJ%F,7$$\"+XDn/? 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}}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "Interestingly enough, if we look at the difference of the solutions, we find that it satisfies si mple, damped harmonic motion (subtract the Newton equations):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "plot(X1(t)-X2(t),t=0..60,col or=blue);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 692 299 299 {PLOTDATA 2 "6&-%' CURVESG6#7[al7$\"\"!F(7$$\"+jlyM;!#5$\"+ho&[i\"F,7$$\"+DJdpKF,$\"+^C:, KF,7$$\"+)ofV!\\F,$\"+J23(o%F,7$$\"+]i9RlF,$\"+>zPVgF,7$$\"+8G$R<)F,$ \"+q%fVB(F,7$$\"+v$>(3)*F,$\"+\"Re)G#)F,7$$\"+%f]V9\"!\"*$\"+K-/,!*F,7 $$\"+]#HyI\"FK$\"+tM2J&*F,7$$\"+.-&*y8FK$\"+YtX#o*F,7$$\"+b62]9FK$\"+s dq%y*F,7$$\"+3@>@:FK$\"+$*>PP)*F,7$$\"+gIJ#f\"FK$\"+!Qg-%)*F,7$$\"+l\\ bM?FK$\"+0!RG$))F ,7$$\"+z1Gh@FK$\"+\">,,8)F,7$$\"+%eANI#FK$\"+cePlsF,7$$\"+)[kdW#FK$\"+ \\YcciF,7$$\"+(QIdg#FK$\"+p3%e(\\F,7$$\"+&G'plFFK$\"+$3bBd$F,7$$\"+%=i c#HFK$\"+<&zA3#F,7$$\"+#3Gc3$FK$\"+FVyQa!#67$$\"+\")RfXKFK$!+6UZ.5F,7$ 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!+L&z6t\"F,7$$\"+:1`hPFc`l$!+,DRFc`l$\"+\\j__nF,7$$ \"+GSxKRFc`l$\"+LSAQnF,7$$\"+FwNSRFc`l$\"+T\"R_o'F,7$$\"+H?pqRFc`l$\"+ NI+(4'F,7$$\"+Ik-,SFc`l$\"+nxEd\\F,7$$\"+b1A3%Fc`l$\"++)*z8:Fcr7$$\"+x<>)4%Fc`l$!+vY(z?*Fcr7$$ \"+-gQ9TFc`l$!+N;Xl>F,7$$\"+D-eITFc`l$!+g(y`&HF,7$$\"+v*G*fTFc`l$!+x#* >GXF,7$$\"+BxF*=%Fc`l$!+)[/dq&F,7$$\"+)4_R?%Fc`l$!+Mn'R6'F,7$$\"+ski=U Fc`l$!+%)[!)*Q'F,7$$\"+fO'fA%Fc`l$!+X0AwkF,7$$\"+Y3ILUFc`l$!+%R'oFlF,7 $$\"+L!Q1C%Fc`l$!+^p(Ra'F,7$$\"+>_(zC%Fc`l$!+%>c]_'F,7$$\"+a61!G%Fc`l$ !+qrSOgF,7$$\"+)3Z@J%Fc`l$!+uurO\\F,7$$\"+b+>GVFc`l$!+\"G)z\">%F,7$$\" +AIBWVFc`l$!+Z?yTLF,7$$\"+*)fFgVFc`l$!+,5!)3CF,7$$\"+b*=jP%Fc`l$!+7P/< 9F,7$$\"+QTT\"R%Fc`l$!+]SFJXFcr7$$\"+?$4lS%Fc`l$\"+(zM<=&Fcr7$$\"+-Xg@ WFc`l$\"+p\"zZZ\"F,7$$\"+$o*pOWFc`l$\"+i.,&R#F,7$$\"+Z+*oY%Fc`l$\"+!ff X/%F,7$$\"+4/3(\\%Fc`l$\"+NzU>`F,7$$\"+D#fG^%Fc`l$\"+?+C(z&F,7$$\"+R!Q 'GXFc`l$\"+'HQ(HhF,7$$\"+Zu_OXFc`l$\"+PD\"*QiF,7$$\"+aoTWXFc`l$\"+'pK \"4jF,7$$\"+hiI_XFc`l$\"+\"pB+M'F,7$$\"+nc>gXFc`l$\"+(\\b9L'F,7$$\"+'H `n#f([Fc`l$!+YB[HhF,7$$\" +Ng.2\\Fc`l$!+N;z+dF,7$$\"+]`9Q\\Fc`l$!+\"fx\"HZF,7$$\"+lYDp\\Fc`l$!+R Q*4J$F,7$$\"+!)RO+]Fc`l$!+E[t%e\"F,7$$\"+l3F;]Fc`l$!+X-%QO'Fcr7$$\"+\\ x#F,7$$\"+'G0e4&Fc`l$\"++mFCQF,7$$\"+`!>w7&Fc`l$\"+Ui\\l]F,7$$\"+@UR V^Fc`l$\"+n=w&\\&F,7$$\"+)Qp\"f^Fc`l$\"+=`S)y&F,7$$\"+sp0n^Fc`l$\"+Cs% 3)eF,7$$\"+bX%\\<&Fc`l$\"+wSgOfF,7$$\"+R@$G=&Fc`l$\"+=tQbfF,7$$\"+A(>2 >&Fc`l$\"+A&Qr$fF,7$$\"+c+FA_Fc`l$\"+)*3n+bF,7$$\"+*Q?QD&Fc`l$\"+\\cjD XF,7$$\"+q=\"GG&Fc`l$\"+\"p$GRKF,7$$\"+]L!=J&Fc`l$\"+/\"*y!p\"F,7$$\"+ I[zS`Fc`l$\"+]zi`5F[fl7$$\"+5jyp`Fc`l$!+R!z3m\"F,7$$\"+>Q,.aFc`l$!+q^$ oQ$F,7$$\"+F8COaFc`l$!+xg3KZF,7$$\"+#3bGX&Fc`l$!+jjw9_F,7$$\"+O)o%paFc `l$!+T\"yCb&F,7$$\"+8dxxaFc`l$!+e`0kcF,7$$\"+!f#3'[&Fc`l$!+%)yTOdF,7$$ \"+n%*Q%\\&Fc`l$!+*>K\"pdF,7$$\"+Vjp-bFc`l$!+%pQ?w&F,7$$\"+BaTKbFc`l$! +6:6:aF,7$$\"+-X8ibFc`l$!+;G)of%F,7$$\"+\"e`=f&Fc`l$!+U0n\"Q$F,7$$\"+g Ed@cFc`l$!+DQ0y=F,7$$\"+)RfKl&Fc`l$!+s%oQ2\"Fcr7$$\"+Nh%\\o&Fc`l$\"+VH vi;F,7$$\"+tGj;dFc`l$\"+#4xmD$F,7$$\"+4'>$[dFc`l$\"+FwH " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "w:=0.2: nT: =10:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Given a position for the mass y(t) we divide this length into 2 nT segments, and generate a li st of points which alternate on the left and right." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "DL:=proc(t) local i,L,d1,d2,t0,x10,x20,Le 1; global w,nT; t0:=evalf(t);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 211 "L e1:=1; d1:=evalf((2*Le1-X1(t0)-X2(t0))/(2*nT+1)); x10:=-Le1+X1(t0); x2 0:=Le1-X2(t0); L:=[[x10,0.],[x10-w/80,1.1*w],[x10+w/80,1.1*w],[x10+w/8 0,-1.1*w],[x10-w/80,-1.1*w],[x10-w/80,1.1*w],[x10,0.],[x10+d1*0.5,w]]: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 186 "for i from 1 to nT do: L:=[op( L),[x10+d1*(2*i-0.5),-w],[x10+d1*(2*i+0.5),w]]; od: L:=[op(L),[x20,0.] ,[x20-w/80,1.1*w],[x20+w/80,1.1*w],[x20+w/80,-1.1*w],[x20-w/80,-1.1*w] ,[x20,0.]]; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "PL:=seq (plot(DL(2*j_t/10)),j_t=0..350):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 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brF:7$F[[brF:FgjarFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1%GEe^#)4F\"F2F.7$$!1%GEe^#[t7 F2F37$$!1%GEe^#[o7F2F37$F]\\brF:7$Fj[brF:Fi[brFf[br7$$!1%GE>&zO=7F2F@7 $$!1%GER#)QJ6\"F2FE7$$!1%GEgp4z+\"F2F@7$$!1PGE\"o0o-*F5FE7$$!1QGE-W^uz F5F@7$$!1PGEBJAApF5FE7$$!1QGEW=$*peF5F@7$$!1PGEl0k<[F5FE7$$!1QGE'G\\`w $F5F@7$$!1PGE2!eIr#F5FE7$$!1PGEGnwg;F5F@7$$!1v$GE[aZ3'FinFE7$$\"1C;P<$ e\"QWFinF@7$$\"1irt6r5'\\\"F5FE7$$\"1irt\"R)R[DF5F@7$$\"1irth'*o+OF5FE 7$$\"1jrtT4)Hl%F5F@7$$\"1irt@AF0dF5FE7$$\"1jrt,NcdnF5F@7$$\"1irt\"ya)4 yF5FE7$$\"1hrthg9i))F5F@7$$\"1Te,!p\"H)Q*F5F.7$$\"1Te,!p\"Hj$*F5F37$$ \"1Se,!p\"H8%*F5F37$Fg`brF:7$Fd`brF:F``brFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1Ok$=<- D=\"F2F.7$$!1Ok$=<-]=\"F2F37$$!1Ok$=<-+=\"F2F37$FfabrF:7$FcabrF:FbabrF _abr7$$!1OkBnX8K6F2F@7$$!1Ok$yN*RJ5F2FE7$$!1cVO&[TmI*F5F@7$$!1dVO#R*G* H)F5FE7$$!1dVO*HP>H(F5F@7$$!1dVO1_e%G'F5FE7$$!1dVO8JBx_F5F@7$$!1dVO?5) )pUF5FE7$$!1dVOF*GDE$F5F@7$$!1dVOMo'pD))F5F@7$$\"1,`OaAPH$*F5F.7$$\" 1-`OaAP/$*F5F37$$\"1,`OaAPa$*F5F37$F`fbrF:7$F]fbrF:FiebrFdqFjqF^r7%-F( 6$7D7$$!1Qr`Djl'3\"F2F.7$$!1Qr`Dj:*3\"F2F37$$!1Qr`Dj:%3\"F2F37$F_gbrF: 7$F\\gbrF:F[gbrFhfbr7$$!1Qr`^ylQ5F2F@7$$!1x8PO!4mU*F5FE7$$!1y8Pc&RmY)F 5F@7$$!1y8Px+n1vF5FE7$$!1y8P)f+na'F5F@7$$!1z8P=6t'e&F5FE7$$!1y8PR;wEYF 5F@7$$!1y8Pf@zmOF5FE7$$!1y8P!oAoq#F5F@7$$!1y8P,K&ou\"F5FE7$$!1\"y8PDP) oyFinF@7$$\"1>iGYv&3t\"FinFE7$$\"1A'GYBbI8\"F5F@7$$\"1A'GYrCI4#F5FE7$$ \"1A'GY>%*H0$F5F@7$$\"1A'GYnjH,%F5FE7$$\"1B'GY:LH(\\F5F@7$$\"1B'GYj-H$ fF5FE7$$\"1A'GY6sG*oF5F@7$$\"1A'GYfTG&yF5FE7$$\"1B'GY26G\"))F5F@7$$\"1 NFx/ez#H*F5F.7$$\"1OFx/ezn#*F5F37$$\"1NFx/ez<$*F5F37$Fi[crF:7$Ff[crF:F b[crFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1%4;0K@o()*F5F.7$$!1$4;0K@=!**F5F37$$!1%4;0K @=&)*F5F37$Fh\\crF:7$Fe\\crF:Fd\\crFa\\cr7$$!1%4;lM91U*F5F@7$$!1%4;&*R +#3&)F5FE7$$!1$4;DX'y&f(F5F@7$$!1%4;b]sLo'F5FE7$$!1%4;&e&e4x&F5F@7$$!1 $4;0hW&e[F5FE7$$!1$4;NmIh%RF5F@7$$!1$4;lr;P.$F5FE7$$!1%4;&pFI@@F5F@7$$ !1$4;D#))))37F5FE7$$!1M4;X([Z'HFinF@7$$\"1o!R[p!RfhFinFE7$$\"12R[>ING: F5F@7$$\"12R[ppwSCF5FE7$$\"12R[44=`LF5F@7$$\"12R[f[flUF5FE7$$\"11R[4)3 !y^F5F@7$$\"12R[fFU!4'F5FE7$$\"11R[*pOG+(F5F@7$$\"11R[\\1D:zF5FE7$$\"1 1R[*fkw#))F5F@7$$\"1\"=orarQG*F5F.7$$\"1#=orar)e#*F5F37$$\"1!=orar)3$* F5F37$FbacrF:7$F_acrF:F[acrFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1KNY*Qd#**))F5F.7$$!1 JNY*QdU#*)F5F37$$!1KNY*QdU())F5F37$FabcrF:7$F^bcrF:F]bcrFjacr7$$!1JNY# zzdY)F5F@7$$!1KNY)fC))f(F5FE7$$!1KNY0%p=t'F5F@7$$!1KNY6U\"\\'eF5FE7$$! 1KNYF5F@7$$\"1ok`?xj/GF5FE7$$\"1ok`?HfrOF5F@7$$\"1ok`5 \"[&QXF5FE7$$\"1ok`5L]0aF5F@7$$\"1pk`+&eCF'F5FE7$$\"1ok`!p8%RrF5F@7$$ \"1ok`!*)oj+)F5FE7$$\"1ok`!3CL())F5F@7$$\"1)y*3!o,oI*F5F.7$$\"1)y*3!o, =G*F5F37$$\"1(y*3!o,=L*F5F37$F[gcrF:7$FhfcrF:FdfcrFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$ $!1%*yy=/]wzF5F.7$$!1%*yy=/],!)F5F37$$!1&*yy=/]^zF5F37$FjgcrF:7$FggcrF :FfgcrFcgcr7$$!1&*yy4NijvF5F@7$$!1%*yy#ppyt'F5FE7$$!1%*yyue67fF5F@7$$! 1%*yyc?O'3&F5FE7$$!1%*yyR#31E%F5F@7$$!1$*yy@W&[V$F5FE7$$!1$*yy/154EF5F @7$$!1$*yy'yYLy\"F5FE7$$!1Q*yyoHfd*FinF@7$$!1Q*yy^\"R=8FinFE7$$\"1k57i m9RpFinF@7$$\"12@@$[o'>:F5FE7$$\"11@@,BUXBF5F@7$$\"11@@@hukF5FE 7$$\"10@@6_%**H(F5F@7$$\"11@@@!*pD\")F5FE7$$\"11@@TGX^*)F5F@7$$\"1WsBP (HVO*F5F.7$$\"1WsBP(H$R$*F5F37$$\"1VsBP(H$*Q*F5F37$Fd\\drF:7$Fa\\drF:F ]\\drFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1$\\E.Gu%[rF5F.7$$!1$\\E.GuM<(F5F37$$!1%\\E .GuM7(F5F37$Fc]drF:7$F`]drF:F_]drF\\]dr7$$!1$\\EL&\\4`nF5F@7$$!1#\\E.I OB'fF5FE7$$!1$\\Ejkx:<&F5F@7$$!1\"\\EB**=3Q%F5FE7$$!1#\\E$R.1!f$F5F@7$ $!1#\\E`o,$*z#F5FE7$$!1#\\EB.V&3?F5F@7$$!1$\\E$yVy<7F5FE7$$!1E\\EVsDqU FinF@7$$\"1w]t'GHtj$FinFE7$$\"13Nn#e\"\\a6F5F@7$$\"13NnN-DX>F5FE7$$\"1 2Nn*))3gt#F5F@7$$\"13NnRvwENF5FE7$$\"13Nn*>EvJ%F5F@7$$\"13Nn\\[G3^F5FE 7$$\"12Nn*\\V!**eF5F@7$$\"13Nnf@!)*o'F5FE7$$\"12Nn43c![(F5F@7$$\"13Nnp %>8F)F5FE7$$\"12Nn>\"y?1*F5F@7$$\"1<'fBXduX*F5F.7$$\"1<'fBXdCV*F5F37$$ \"1;'fBXdC[*F5F37$F]bdrF:7$FjadrF:FfadrFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1$**op\"z l]kF5F.7$$!1#**op\"zlvkF5F37$$!1$**op\"zlDkF5F37$F\\cdrF:7$FibdrF:Fhbd rFebdr7$$!1%**oHf])ogF5F@7$$!1#**of%fB0`F5FE7$$!1$**o*)H@;a%F5F@7$$!1% **o4l1!yPF5FE7$$!1%**oR+#R9IF5F@7$$!1$**opNx2D#F5FE7$$!1$**o*4F;([\"F5 F@7$$!1N**o>1[NsFinFE7$$\"1T15.&em+%Fh_lF@7$$\"1j+J?B\"o.)FinFE7$$\"12 5.!)eHn:F5F@7$$\"125.F0\"4L#F5FE7$$\"115.u^_%4$F5F@7$$\"125.B)R\"eQF5F E7$$\"125.tWv@YF5F@7$$\"125.8\"p`Q&F5FE7$$\"115.jP)*[hF5F@7$$\"125.8%) f7pF5FE7$$\"125.jI@wwF5F@7$$\"135..x#)R%)F5FE7$$\"125.`BW.#*F5F@7$$\"1 6()zr'\\_e*F5F.7$$\"17()zr'\\-c*F5F37$$\"16()zr'\\-h*F5F37$FfgdrF:7$Fc gdrF:F_gdrFdqFjqF^r7%-F(6$7D7$$!1([N\\faD\"fF5F.7$$!1([N\\fav$fF5F37$$ !1)[N\\fav)eF5F37$FehdrF:7$FbhdrF:FahdrF^hdr7$$!1([N*3=wRbF5F@7$$!1)[N pBwTz%F5FE7$$!1([NRm!f[SF5F@7$$!1([N>40II$F5FE7$$!1)[N*>&>ub#F5F@7$$!1 )[Nz%R$=\"=F5FE7$$!1)[NfP[i1\"F5F@7$$!1x[NH!Gm?$FinFE7$$\"1A^k!pF#\\UF inF@7$$\"18X1T$30<\"F5FE7$$\"17X18R4;>F5F@7$$\"17X1&[z;m#F5FE7$$\"18X1 e]E2MF5F@7$$\"18X1D1&G:%F5FE7$$\"17X10iV)*[F5F@7$$\"18X1v<-WcF5FE7$$\" 17X1Xtg*Q'F5F@7$$\"17X1:H>NrF5FE7$$\"18X1&\\y2)yF5F@7$$\"17X1lSOE')F5F E7$$\"18X1N'\\>P*F5F@7$$\"16%\\KTUZu*F5F.7$$\"16%\\KTU(>(*F5F37$$\"15% \\KTU(p(*F5F37$F_]erF:7$F\\]erF:Fh\\erFdqFjqF^r-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG" 1 2 0 1 0 2 9 1 2 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 215 "If we extend the number of frames such that at t he end the solution almost connects to the intial condition (for small enough friction this is achievable), then the continuous simulation i n HTML will look realistic." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "On e should try initial conditions that correspond to the two fundamental modes:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "(i) the masses moving together (no compression of the spring connecting " }{TEXT 367 1 "m" }{TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 366 1 "m" }{TEXT -1 4 "2); " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "this can be achieved by picking opposite, equal in magnit ude velocities for d" }{TEXT 362 1 "x" }{TEXT -1 3 "1/d" }{TEXT 363 1 "t" }{TEXT -1 6 " and d" }{TEXT 365 1 "x" }{TEXT -1 3 "2/d" }{TEXT 364 1 "t" }{TEXT -1 4 " at " }{TEXT 359 1 "t" }{TEXT -1 7 "=0 (as " } {TEXT 369 1 "x" }{TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 368 1 "x" }{TEXT -1 22 "2 \+ have opposite sign)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "(ii) the masses m oving against each other." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 95 "These two modes correspond to motions described by a single Newton equation in the coordinates " }{TEXT 370 1 "q" } {TEXT -1 2 "1=" }{TEXT 371 1 "x" }{TEXT -1 2 "1+" }{TEXT 372 1 "x" } {TEXT -1 7 "2, and " }{TEXT 373 1 "q" }{TEXT -1 2 "2=" }{TEXT 374 1 "x " }{TEXT -1 2 "1-" }{TEXT 375 1 "x" }{TEXT -1 132 "2 respectively.Veri fy that the two Newton equations decouple in these two cases, and that the oscillation frequencies are different." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "There are mathematical ways to understand the appearance of so-called normal modes, i.e., modes wher e the motions of " }{TEXT 377 1 "m" }{TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 376 1 "m" }{TEXT -1 234 "2 reduce to a single degree of freedom. One techniq ue is to write the system of two second-order equations as a system of four coupled first-order equations, and to diagonalize the coefficien t matrix. The transformed variables become " }{TEXT 379 1 "q" }{TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 378 1 "q" }{TEXT -1 2 "2." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 304 "Let us see whether the t he solution for one of the masses (in the general, coupled case, i.e., for an intial condition where the beat phenomenon occurs) knows about the frequencies associated with the normal modes. A Fourier transform from the time to the frequency domain should reveal this information. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 199 "A look at the solution shows indeed \+ that we have a superposition of two solutions with particular frequenc ies. The symbolic solution was given above. We read out that both freq uencies are very close:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " evalf(X1(t));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$-%#ReG6#,&*&-%$expG 6#,$%\"tG$!+++++5!#6\"\"\"-%$sinG6#,$F-$\"+q%*R&4\"!\"*F1$\"+>dV3G!\"& *&F)\"\"\"-F36#,$F-$\"+*)**\\****!#5F1$\"+IG^wIF;$\"+ezHD;!#9" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 316 "For the beat phenomenon to be pro minent we need, in fact, the closeness of the two frequencies. Instrum ent tuners (and orchestras) know that two strings are out of tune if t he wobbling sound associated with the beat phenomenon is heard. The wo bble disappears only if the two frequencies get very close to each oth er." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Fo urier analysis can be performed analytically on simple functions." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "with(inttrans);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7/%)addtableG%(fourierG%+fouriercosG%+fouriersi nG%'hankelG%(hilbertG%+invfourierG%+invhilbertG%+invlaplaceG%*invmelli nG%(laplaceG%'mellinG%*savetableG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "fourier(sin(t),t,f);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*(%\"IG\"\"\"%#PiGF&-%&DiracG6#,&%\"fGF&!\"\"F&F&F-*(F%\"\"\"F'F/ -F)6#,&F,F&F&F&F&F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "four ier(sin(t)+cos(t/2),t,f);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,**(%\"IG \"\"\"%#PiGF&-%&DiracG6#,&%\"fGF&!\"\"F&F&F-*(F%\"\"\"F'F/-F)6#,&F,F&F &F&F&F&*&F'F/-F)6#,&F,F&#F-\"\"#F&F&F&*&F'F/-F)6#,&F,F&#F&F8F&F&F&" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 155 "Note that the cosine components \+ acquire real amplitudes, while the sine components have imaginary ampl itudes, and that the frequency spectrum is symmetric." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 300 "As we have an initial-value problem, and the damping \+ would result in a blow-up for negative times, we are interested in a t ransform that integrates over positive times only. Obvious candidates \+ are fourier cosine, and fourier sine transforms. The fourier sine tran sform gives a very reasonable result." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "fourier sin(x1(t),t,f);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&*(-%%sqrtG6#\"# r\"\"\"-F'6#\"\"#F*,&*&F*F*,&#\"\"\"\"&++\"F2*$),&*$F&F*#\"#8\"$+\"%\" fG!\"\"F-F*F2!\"\"#F2\"$+#*&F*F*,&F1F2*$),&F;F2F7F8F-F*F2F=#F*&F*F*,&F1F2*$),&F;F2FXFYF-F*F2F=FEF2F**$-F'6#FIF *F=#FK\"%LL" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "plot(%^2,f=0 .9..1.2);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 694 299 299 {PLOTDATA 2 "6%-%' CURVESG6$7[r7$$\"1+++++++!*!#;$\"1dkHm\"Rj'f!#<7$$\"1++]i9Rl!*F*$\"1\" f*RRA$Rh(F-7$$\"1+]PC#)GA\"*F*$\"1p]GPfS*\\*F*$\"1Og&e76KD(F*7$$\"1+](=$f%Gc*F*$\"1'fY')G?5=\"!#: 7$$\"1++]#y,\"G'*F*$\"1Qq@#>rQ5#Fen7$$\"1,+Dr\"zbo*F*$\"1UE#p$zu*z$Fen 7$$\"1+]PM@$zr*F*$\"1sx=dm#4`&Fen7$$\"1++](4&G](*F*$\"1snT\\'QQN)Fen7$ $\"1+++04x#y*F*$\"1lgwH7M>8!#97$$\"1++]7nD:)*F*$\"1n8nE$)3)=#F_p7$$\"1 ++]2GcY)*F*$\"1E$p]6giu$F_p7$$\"1++]-*oy()*F*$\"1O,7<;yCnF_p7$$\"1\\(= #pL3#*)*F*$\"1'fV!3#)=v))F_p7$$\"1+v$f$yH1**F*$\"1\"e!e.*RZ<\"!#87$$\" 1uoHp]S8**F*$\"1uS9rNr]8Fiq7$$\"1]il-B^?**F*$\"18L#3/H0b\"Fiq7$$\"1Dc, O&>w#**F*$\"102&R@q\\x\"Fiq7$$\"1+]PpnsM**F*$\"1!ffML\"\\1\"=wOFiq7$$\"1^(=n*QV&)**F*$\"14/dv$3:!RFiq7$$\"1iSm !\\f'*)**F*$\"1c1(zir)zRFiq7$$\"1v$4Y3&)Q***F*$\"1XK!*Hc.KSFiq7$$\"1K? e\")y*f***F*$\"1go0RyvZSFiq7$$\"1)oa&y16)***F*$\"1>$4`x\"RcSFiq7$$\"1N FbZB-+5Fen$\"1Gi^V/(y0%Fiq7$$\"1++DFOB+5Fen$\"13pR2R=_SFiq7$$\"1](=Pb \\4+\"Fen$\"1$f?UT;2)RFiq7$$\"1+v=![l;+\"Fen$\"1Axw0C\\MQFiq7$$\"1]il1 9Q-5Fen$\"19h1h;!fi$Fiq7$$\"1+]7Lt4.5Fen$\"15D\"e0*4rLFiq7$$\"1]PffK\" Q+\"Fen$\"1bFiq7$$\"1v$fViEw+\"Fen$\"13EE'RzUj\"Fiq7$$\"1j!RqT f%35Fen$\"1G$=.;bSR\"Fiq7$$\"1](=(4AH45Fen$\"1,bl'p%f'=\"Fiq7$$\"1D\"y ]zd4,\"Fen$\"1$y/X?OPf)F_p7$$\"1+vV!QBE,\"Fen$\"1fkHxA>liF_p7$$\"1](o4 .sb,\"Fen$\"13C.Qp#[p$F_p7$$\"1++]\"o?&=5Fen$\"19a&*R$Fen7$$\"1+v=WU[V5Fen$\"1F>>DexBFFen7$$\"1+]7 B>&)\\5Fen$\"1DK)G^u8e#Fen7$$\"1+v$>:mk0\"Fen$\"1)y!)yQx()*HFen7$$\"1+ DcdQAi5Fen$\"1R_1C-^pSFen7$$\"1](ou4L`1\"Fen$\"1hLy[/uZ^Fen7$$\"1+]PPB Wo5Fen$\"1VWpPDBboFen7$$\"1+vV'[a;2\"Fen$\"10RP08a_(*Fen7$$\"1++]Nm'[2 \"Fen$\"1R*pj^*>u9F_p7$$\"1+vo'44!y5Fen$\"1X@@m;l[BF_p7$$\"1+](yb^63\" Fen$\"1\\_V*G&zxRF_p7$$\"1DcE/=n#3\"Fen$\"1E,Ci5SP_F_p7$$\"1]il]?>%3\" Fen$\"11sa\\5ropF_p7$$\"1vo/(H7d3\"Fen$\"1n#*oH\">ML*F_p7$$\"1+vVVDB(3 \"Fen$\"19n:\\\"\\-D\"Fiq7$$\"1Q%[1`w!)3\"Fen$\"1S0h:$)fl9Fiq7$$\"1v$f y^?*)3\"Fen$\"18.b(p\"H4Fiq7$$\"1 ]7G#\\314\"Fen$\"1OKPF*H[E#Fiq7$$\"1)=#\\zCX\"4\"Fen$\"1OWZ-Q!ob#Fiq7$ $\"1DJqmkH#4\"Fen$\"1%*=dM'fh$GFiq7$$\"1iS\"RXSJ4\"Fen$\"1B:`QHs!3$Fiq 7$$\"1+]7TW)R4\"Fen$\"1JOR!yQpE$Fiq7$$\"1v=<,Gu%4\"Fen$\"1U`d*H%QnLFiq 7$$\"1](=7;,b4\"Fen$\"1$>s.c\"=%R$Fiq7$$\"1DcE@&fi4\"Fen$\"1HmzWebWLFi q7$$\"1+DJ\")y,(4\"Fen$\"1!>Bd/yLA$Fiq7$$\"1v$f8Cwx4\"Fen$\"1/.CP07UIF iq7$$\"1]iS,Y`)4\"Fen$\"1:pNK*Rl\"GFiq7$$\"1DJXhHH*4\"Fen$\"18w\"=DiQc #Fiq7$$\"1++]@80+6Fen$\"1(4&yz'o-I#Fiq7$$\"1](=F.h35\"Fen$\"1!)yiBT(=- #Fiq7$$\"1+v$Ruq;5\"Fen$\"1>Wl!QL#e3x;: Fiq7$$\"1+]Pm,H.6Fen$\"1f35\">D6I\"Fiq7$$\"1+D\"))e4\\5\"Fen$\"1xZ]^Pw ([*F_p7$$\"1++D6!Hl5\"Fen$\"1gaooN[,pF_p7$$\"1]P4')QY46Fen$\"1*Qlko/B% RF_p7$$\"1+v$4w)R76Fen$\"1RDPG([)RBF_p7$$\"1]PMatg:6Fen$\"1XO2ctw!R\"F _p7$$\"1++vZf\")=6Fen$\"1_/B2/N\"p)Fen7$$\"1]P4%)\\$=7\"Fen$\"1$y:ce;$ =eFen7$$\"1+vV?S&[7\"Fen$\"1s/7BX6LSFen7$$\"1+v=Yb;J6Fen$\"1yjUw6Ne?Fe n7$$\"1++D;iLP6Fen$\"12/'>V\\^<\"Fen7$$\"1+v$fL'zV6Fen$\"1%Qj\"3D#)oqF *7$$\"1+++*>=+:\"Fen$\"1\"oMp8lpf%F*7$$\"1+]i_4Qc6Fen$\"1M\\zw\"G`5$F* 7$$\"1+vV>5pi6Fen$\"1gG9xZa(=#F*7$$\"1++]:$*[o6Fen$\"1`JeL%G1j\"F*7$$ \"1+]7<[8v6Fen$\"17&*z`u:(>\"F*7$$\"1+++L'y5=\"Fen$\"1\"3)HnObw#*F-7$$ \"1+vV!)fT(=\"Fen$\"1q^x\\nV.sF-7$$\"1+DcI;[$>\"Fen$\"1q'HH5=bu&F-7$$ \"1+++++++7Fen$\"1agUlY&[d%F--%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"\"\"!Fh^m-%+A XESLABELSG6$Q\"f6\"%!G-%%VIEWG6$;$\"\"*Fg^m$\"#7Fg^m%(DEFAULTG" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 326 "We find that the frequency spectrum has a finite width about the natural frequencies. We leave it as an exercise to vary the damping constant and to verify that the spectrum approaches that of d elta functions at the natural frequencies for the case of weaker dampi ng, and vice versa that it broadens, if the friction constant " } {TEXT 380 1 "b" }{TEXT -1 14 " is increased." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "For the fourier cosine transfo rm we find that the squared amplitude vanishes at the natural frequenc ies." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "fouriercos(x2(t),t, f);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&*(-%%sqrtG6#\"#r\"\"\"-F'6# \"\"#F*,&*&,&%\"fG\"\"\"*$F&F*#\"#8\"$+\"F*,&#F2\"&++\"F2*$)F0F-F*F2! \"\"#F2F-*&,&F3F4F1!\"\"F*,&F8F2*$)F?F-F*F2F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "plot(%^2,f=0.9..1.2);" }} {PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 694 299 299 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7`t7 $$\"1+++++++!*!#;$\"1j(HBdgT7\"!#:7$$\"1++]i9Rl!*F*$\"17@Dk'=PN\"F-7$$ \"1+]PC#)GA\"*F*$\"1,St,:,1;F-7$$\"1++v$eui=*F*$\"1***z-l!yo>F-7$$\"1+ +D'3&o]#*F*$\"1_#\\%yqN]CF-7$$\"1+](oX*y9$*F*$\"1#zfw8;Z4$F-7$$\"1+]P9 CAu$*F*$\"1$)4%3[>Y!RF-7$$\"1+]P*zhdV*F*$\"1jK'4g/61&F-7$$\"1+]P>fS*\\ *F*$\"1y#z=dZWx'F-7$$\"1+](=$f%Gc*F*$\"1*=T>z')GJ*F-7$$\"1++]#y,\"G'*F *$\"1foA)[&HO8!#97$$\"1,+Dr\"zbo*F*$\"1/#[B&z'p*=Fjn7$$\"1+]PM@$zr*F*$ \"1M+^#y4JM#Fjn7$$\"1++](4&G](*F*$\"13t'*36L@HFjn7$$\"1+++04x#y*F*$\"1 %GS#R60qOFjn7$$\"1++]7nD:)*F*$\"1&>`B#Gh4YFjn7$$\"1++]2GcY)*F*$\"1;TCz *fLl&Fjn7$$\"1++]-*oy()*F*$\"1zZ&>v/_f'Fjn7$$\"1v$fe8w\\))*F*$\"1*G.#* HAgt'Fjn7$$\"1\\(=#pL3#*)*F*$\"14XUYInDoFjn7$$\"1D\"yDg!>**)*F*$\"1p)3 E#f5\\oFjn7$$\"1+v$f$yH1**F*$\"1L`>WKh*y'Fjn7$$\"1]il-B^?**F*$\"1$=z;@ (H_jFjn7$$\"1+]PpnsM**F*$\"19,[1Zm&R&Fjn7$$\"1DcEdzu'*\\] #Fjn7$$\"1+v$4_J&o**F*$\"1],,9S*)f9Fjn7$$\"1E\"G)3F)p(**F*$\"1:pAqq,qf F-7$$\"1^(=n*QV&)**F*$\"1!)*[%H'zK<)F*7$$\"129p$pYv)**F*$\"1m$)R3\\m% \\#F*7$$\"1iSm!\\f'*)**F*$\"1;&yhXP&zy!#=7$$\"1>nj(Gs<***F*$\"1?_$f)Q` p5F*7$$\"1v$4Y3&)Q***F*$\"1-W)G0U'ybF*7$$\"1)oa&y16)***F*$\"14$>'*oqBa #F-7$$\"1++DFOB+5F-$\"1)*)zws`%yfF-7$$\"1](=Pb\\4+\"F-$\"1B`U![Nh\\\"F jn7$$\"1+v=![l;+\"F-$\"1:Oq&Hiwt#Fjn7$$\"1v=UVM--5F-$\"1OYL()*o%eMFjn7 $$\"1]il19Q-5F-$\"1\\s!z3\\vA%Fjn7$$\"1D1*)p$RF+\"F-$\"1`R@,6>I]Fjn7$$ \"1+]7Lt4.5F-$\"1x!\\Gn*o^eFjn7$$\"1v$fjHbM+\"F-$\"1Nn.cP)yn'Fjn7$$\"1 ]PffK\"Q+\"F-$\"1MF=nxg&\\(Fjn7$$\"1D\"GGArT+\"F-$\"1a(H$*RRIH)Fjn7$$ \"1+D1'=HX+\"F-$\"1t:Q-%Q*f!*Fjn7$$\"1voH\\r)[+\"F-$\"1FysT)zxy*Fjn7$$ \"1]7`7^C05F-$\"19\"H&R#zp/\"!#87$$\"1DcwvIg05F-$\"1%efqo\"456Fez7$$\" 1+++R5'f+\"F-$\"1[*4:Cqx;\"Fez7$$\"1(oz;$Qz15F-$\"1j7Mjf0!G\"Fez7$$\"1 v$fViEw+\"F-$\"1c'[5%o-i8Fez7$$\"1j!RqTf%35F-$\"1z:36c3;9Fez7$$\"1](=( 4AH45F-$\"1v1A#H#)fW\"Fez7$$\"1s'))yS+&45F-$\"1-l2,f<]9Fez7$$\"1%fegg3 (45F-$\"1r3P*R\">`9Fez7$$\"1;&GU!o\"*45F-$\"1F&R$oZ4b9Fez7$$\"1P%)R-]7 55F-$\"1!oD6\"3&fX\"Fez7$$\"1\"GQ()RT0,\"F-$\"1&H!*HmsZX\"Fez7$$\"1D\" y]zd4,\"F-$\"1MdFzE9]9Fez7$$\"18yv(e!z65F-$\"1=W32*3BV\"Fez7$$\"1+vV!Q BE,\"F-$\"119K\\)fcS\"Fez7$$\"1DJq0x495F-$\"1%)zc0>pW8Fez7$$\"1](o4.sb ,\"F-$\"17:a0q&[F\"Fez7$$\"1vVBcj/<5F-$\"1uZm\"fFH?\"Fez7$$\"1++]\"o?& =5F-$\"1pT3rW)G8\"Fez7$$\"1](o%=ev@5F-$\"1![]^+bv%**Fjn7$$\"1+vVb4*\\- \"F-$\"18*yGS[H#))Fjn7$$\"1+](3dr!G5F-$\"1!R!z*[=h(zFjn7$$\"1+DJ'=_6. \"F-$\"148Y%3[VJ(Fjn7$$\"1]PM&[mV.\"F-$\"1\"[pBJBjy'Fjn7$$\"1+]P%y!eP5 F-$\"1]n$QAN\\R'Fjn7$$\"1]7G9D`S5F-$\"1#zmT'*3o8'Fjn7$$\"1+v=WU[V5F-$ \"1XTOrs\"[RE%eFjn7$$\"1+]7B>&)\\5F-$\"1P2 5%**oV%eFjn7$$\"1D\"G.[0:0\"F-$\"1pV%yHY#oeFjn7$$\"1]7`P!fJ0\"F-$\"1,? 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One mi ght wonder why two different frequencies appear for the apparently sym metrical system of two identical masses. We have chosen identical spri ngs to attach the masses to their respective sides and a weak spring t o couple them together. The student is encouraged to re-run the simula tions, and the frequency analysis with a stronger (and weaker) couplin g between the two masses. The two different natural modes arose obviou sly for the symmetrical set-up as those where the masses do not compre ss the spring which couples them (presumably the lower-energy mode), a nd the one where in addition to compressing/expanding their support sp rings the masses compress/expand the coupling spring (the higher-frequ ency mode). It is for weak coupling that the frequencies become nearly degenerate (almost equal), and the beat phenomenon occurs (which is e ven more fascinating to watch in real life than on the computer screen ; try to put together your own pendula coupled by a very weak rubber b and). Which of the two motions has the higher/lower frequency is demon strated by the decoupling of the equations carried out below." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "We compl ete the calculations by carrying out the transformation of the Newton \+ equations for our choice of parameters." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "x1(t):='x1(t)': x2(t):='x2(t)':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "m1:=1; m2:=1; k1:=1; k2:=1; k3:=1/10; b:=1/50 ;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#m1G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#m2G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k1G \"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k2G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k3G#\"\"\"\"#5" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"bG#\"\"\"\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "NE1 :=m1*diff(x1(t),t$2)=-k1*x1(t)-k3*(x1(t)+x2(t))-b*diff(x1(t),t);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE1G/-%%diffG6$-%#x1G6#%\"tG-%\"$G6 $F,\"\"#,(F)#!#6\"#5-%#x2GF+#!\"\"F4-F'6$F)F,#F8\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "NE2:=m2*diff(x2(t),t$2)=-k2*x2(t)-k3*(x1( t)+x2(t))-b*diff(x2(t),t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$NE2G/ -%%diffG6$-%#x2G6#%\"tG-%\"$G6$F,\"\"#,(F)#!#6\"#5-%#x1GF+#!\"\"F4-F'6 $F)F,#F8\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "NE1p:=subs( x1(t)=q1(t)-q2(t),x2(t)=q1(t)+q2(t),NE1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%NE1pG/-%%diffG6$,&-%#q1G6#%\"tG\"\"\"-%#q2GF,!\"\"-% \"$G6$F-\"\"#,(F*#!\"'\"\"&F/F.-F'6$F)F-#F1\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "NE2p:=subs(x1(t)=q1(t)-q2(t),x2(t)=q1(t)+q2(t) ,NE2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%NE2pG/-%%diffG6$,&-%#q1G6 #%\"tG\"\"\"-%#q2GF,F.-%\"$G6$F-\"\"#,(F*#!\"'\"\"&F/!\"\"-F'6$F)F-#F9 \"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "NE1pp:=NE1p+NE2p;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&NE1ppG/,$-%%diffG6$-%#q1G6#%\"tG- %\"$G6$F-\"\"#F1,&F*#!#7\"\"&-F(6$F*F-#!\"\"\"#D" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "NE2pp:=NE1p-NE2p;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&NE2ppG/,$-%%diffG6$-%#q2G6#%\"tG-%\"$G6$F-\"\"#!\"#, &F*F1-F(6$F*F-#\"\"\"\"#D" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "We h ave decoupled the two differential equations. Let us find the solution s." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "sol1:=dsolve(NE1pp,q1 (t));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%sol1G/-%#q1G6#%\"tG,&*(%$_ C1G\"\"\"-%$expG6#,$F)#!\"\"\"$+\"F--%$cosG6#,$*&-%%sqrtG6#\"#r\"\"\"F )F-#\"#8F4F-F-*(%$_C2GF-F.F>-%$sinGF7F-F-" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 17 "evalf(rhs(sol1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#,&*(%$_C1G\"\"\"-%$expG6#,$%\"tG$!+++++5!#6F&-%$cosG6#,$F+$\"+q%*R&4 \"!\"*F&F&*(%$_C2GF&F'\"\"\"-%$sinGF1F&F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 26 "sol2:=dsolve(NE2pp,q2(t));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%sol2G/-%#q2G6#%\"tG,&*(%$_C1G\"\"\"-%$expG6#,$F)#!\" \"\"$+\"F--%$cosG6#,$*&-%%sqrtG6#\"%66\"\"\"F)F-#\"\"$F4F-F-*(%$_C2GF- F.F>-%$sinGF7F-F-" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "evalf( rhs(sol2));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*(%$_C1G\"\"\"-%$expG 6#,$%\"tG$!+++++5!#6F&-%$cosG6#,$F+$\"+*)**\\****!#5F&F&*(%$_C2GF&F'\" \"\"-%$sinGF1F&F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Now, the low er frequency occurs in the mode described by " }{TEXT 382 1 "q" } {TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 381 1 "t" }{TEXT -1 6 ") = 2(" }{TEXT 383 1 "x " }{TEXT -1 2 "2(" }{TEXT 384 1 "t" }{TEXT -1 4 ") - " }{TEXT 385 1 "x " }{TEXT -1 2 "1(" }{TEXT 386 1 "t" }{TEXT -1 101 ")). This mode is th e one where the masses run in parallel (remember that according to our convention " }{TEXT 388 1 "x" }{TEXT -1 6 "1 and " }{TEXT 387 1 "x" } {TEXT -1 31 "2 have opposite sign, and that " }{TEXT 389 1 "x" }{TEXT -1 2 "1/" }{TEXT 390 1 "x" }{TEXT -1 136 "2 measures the displacement \+ of the respective mass from the equlibrium point of the spring which c onnects it to its respective support)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 373 "For the case of arbitrary masses and spring constants one would have to find the right linear combinations to perform the decoupling. It is for this case that one prefers the m athematical machinery of decoupling systems of first-order differentia l equations with constant coefficients by means of a similarity transf ormation (diagonalization of the matrix of coefficients)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "0 0 0" 23 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }